use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria aqui envolve Transformadas de Laplace e resolução de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das derivadas na Transformada.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
, temos:
Passo 4
Substituindo na equação transformada:
A Transformada de Laplace de
é:
Passo 5
Então, nossa equação fica:
Para encontrar
, isolamos:
Passo 6
Fatoramos o denominador:
Então:
Passo 7
Agora, usamos frações parciais para decompor:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Escolhemos valores de
para facilitar:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Para encontrar
, derivamos ou escolhemos outro valor. Vamos expandir a equação:
Expandindo e comparando coeficientes, encontramos que
.
Passo 10
Então, temos:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: