use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' - 5y' + 6y = 3e^(3t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria aqui envolve Transformadas de Laplace e resolução de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das derivadas na Transformada.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais e , temos:

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
A Transformada de Laplace de é:

Passo 5

Então, nossa equação fica:
Para encontrar , isolamos:

Passo 6

Fatoramos o denominador:
Então:

Passo 7

Agora, usamos frações parciais para decompor:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Escolhemos valores de para facilitar:
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Para encontrar , derivamos ou escolhemos outro valor. Vamos expandir a equação:
Expandindo e comparando coeficientes, encontramos que .

Passo 10

Então, temos:

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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