Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana
descrita for rotacionada em torno do eixo
:(a)
é limitada por
e
. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volumes de sólidos de revolução. A questão pede para determinar o volume do sólido obtido ao girar a região
ao redor do eixo
. A região
é limitada por
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos formados pela rotação de áreas planas em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função que define a borda da região:
. Essa é uma parábola que intercepta o eixo
nos pontos
e
. A área limitada por essa curva e pelos eixos
,
e
forma a região
que vamos girar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar que a região
é composta por infinitos discos finos empilhados ao longo do eixo de rotação. O volume de cada disco é dado por
vezes o raio ao quadrado vezes a espessura
:
Aqui,
é a função que define a borda da região.
Passo 4
Integrando essa expressão de
a
, obtemos o volume total
:
Vamos primeiro expandir a função dentro da integral:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Portanto, o volume é:
Agora, substituímos
e
:
Para
:
Para
, todos os termos são zero.
Passo 7
Calculando os valores:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido obtido é
.