Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana R descrita for rotacionada em torno do eixo x :(a) R é limitada por y = x(2 - x), y = 0, x = 0 e x = 2. Resposta: V = (16 pi / 15) u * v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volumes de sólidos de revolução. A questão pede para determinar o volume do sólido obtido ao girar a região ao redor do eixo . A região é limitada por , , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos formados pela rotação de áreas planas em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função que define a borda da região: . Essa é uma parábola que intercepta o eixo nos pontos e . A área limitada por essa curva e pelos eixos , e forma a região que vamos girar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar que a região é composta por infinitos discos finos empilhados ao longo do eixo de rotação. O volume de cada disco é dado por vezes o raio ao quadrado vezes a espessura :
Aqui, é a função que define a borda da região.

Passo 4

Integrando essa expressão de a , obtemos o volume total :
Vamos primeiro expandir a função dentro da integral:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Portanto, o volume é:
Agora, substituímos e :
Para :
Para , todos os termos são zero.

Passo 7

Calculando os valores:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido é .

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