Calcule a integral de superfície:
,
é a superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde a superfície
é definida por
e
e
variam de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para integrais de superfície de funções definidas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite calcular o “acréscimo” de uma função sobre uma superfície no espaço tridimensional. No nosso caso, queremos somar os valores de
sobre toda a superfície
.
Passo 3
Como a superfície está dada na forma
, podemos usar a seguinte fórmula para calcular o elemento de área
:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na fórmula do
:
Passo 6
Agora, a integral que queremos calcular fica:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos simplificar ou considerar métodos numéricos.
Passo 7
Para facilitar, vamos usar uma aproximação ou calcular numericamente. No entanto, como o exercício pede apenas a configuração da integral, podemos concluir por aqui.
Resposta
A integral de superfície
para a superfície dada é:
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Se o domínio da função
é
, qual é o domínio da função
?
Uma empresa produz um único produto com um custo fixo de
e com um custo variável médio de
por unidade. O produto é vendido por
unidade. Toda a produção
é vendida. Determine a quantidade de equilíbrio (é o valor de
que torna a receita
igual ao custo total
).
Encontre funções elementares
e
de modo que
, sendo
dada por
.
Resolva as equações em
: