Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S em que S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(u v, u+v, u-v), com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano u v.
0
1
2 pi
4 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS yz , dS, onde a superfície S é parametrizada por r(u, v) = (uv, u+v, u-v). O domínio dessa parametrização é um disco de raio 1 no plano uv. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície e parametrizações para transformar a integral em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as coordenadas y e z em termos de u e v. Pela parametrização dada:
y = u + v z = u - v
Então, o produto y z fica:
y z = (u + v)(u - v) = u^2 - v^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
ru = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) = (v, 1, 1) rv = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v ) = (u, 1, -1)
O produto vetorial desses vetores é:
ru times rv = i & j & k v & 1 & 1 u & 1 & -1 = (-2, u + v, v - u)
A magnitude desse vetor nos dá o elemento de área:
|ru times rv| = raiz(-2)^2 + (u + v)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + 2u^2 + 2v^2 = raiz2(u^2 + v^2) + 4

Passo 4

Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões que encontramos:
integral duplaS y z , dS = integral duplaD (u^2 - v^2) raiz2(u^2 + v^2) + 4 , du , dv
Onde D é o disco de raio 1 no plano uv, ou seja, u^2 + v^2 <= 1.

Passo 5

Vamos observar que a função u^2 - v^2 é simétrica em relação aos eixos u e v, e estamos integrando sobre um domínio simétrico (o disco). Devido a essa simetria, as partes positivas e negativas da função se cancelam, resultando em:
integral duplaD (u^2 - v^2) raiz2(u^2 + v^2) + 4 , du , dv = 0

Resposta

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