Calcule a integral de superfície em que é a superfície parametrizada por , com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde a superfície é parametrizada por . O domínio dessa parametrização é um disco de raio 1 no plano . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície e parametrizações para transformar a integral em uma forma mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as coordenadas e em termos de e . Pela parametrização dada:
Então, o produto fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores parciais da parametrização:
O produto vetorial desses vetores é:
A magnitude desse vetor nos dá o elemento de área:
|ru times rv| = raiz(-2)^2 + (u + v)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + 2u^2 + 2v^2 = raiz2(u^2 + v^2) + 4
Passo 4
Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões que encontramos:
integral duplaS y z , dS = integral duplaD (u^2 - v^2) raiz2(u^2 + v^2) + 4 , du , dv
Onde D é o disco de raio 1 no plano uv, ou seja, u^2 + v^2 <= 1.
Passo 5
Vamos observar que a função u^2 - v^2 é simétrica em relação aos eixos u e v, e estamos integrando sobre um domínio simétrico (o disco). Devido a essa simetria, as partes positivas e negativas da função se cancelam, resultando em:
integral duplaD (u^2 - v^2) raiz2(u^2 + v^2) + 4 , du , dv = 0