Determine a área da superficie parametrizada por , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a área de uma superfície que está definida pela função vetorial , onde varia de até e varia de até . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial em relação a e a . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada direção.
Vamos calcular e :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, ou seja, . Esse produto nos dá um vetor que é perpendicular à superfície e cujo módulo representa a área infinitesimal da superfície.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área infinitesimal:
Factorizando:
Como :
Passo 5
Com o módulo da derivada cruzada em mãos, podemos agora configurar a integral dupla que nos dará a área total da superfície: