Determine a área da superficie parametrizada por r(u, v) = (u cos v, u sen v, 3 u), com 0 <= u <= 4 e 0 <= v <= 2 pi.
16 pi raiz(10), 4 pi raiz(10), 16 pi, 4 pi, pi raiz(10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a área de uma superfície que está definida pela função vetorial , onde u varia de 0 até e v varia de 0 até . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de áreas de superfícies parametrizadas, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial em relação a u e a v. Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada direção.
Vamos calcular e :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, ou seja, . Esse produto nos dá um vetor que é perpendicular à superfície e cujo módulo representa a área infinitesimal da superfície.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área infinitesimal:
Factorizando:
Como :

Passo 5

Com o módulo da derivada cruzada em mãos, podemos agora configurar a integral dupla que nos dará a área total da superfície:
Á
Vamos separar as integrais:
Á
Calculando a integral interna:
Então:
Á

Resposta

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Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(-x z,-y z, z^2) e S è a esfera de raio 5 centrada na origem.
0
pi
125 pi
10003 pi
1000 pi
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3) e S é a superficie da esfera de raio 1 centrada na origem.
125 pi
45 pi
25 pi
65 pi
35 pi
Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S em que S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(u v, u+v, u-v), com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano u v.
0
1
2 pi
4 pi
Calcule a integral de superficie integral duplaS x d S, em que S é a superficie y=x^2+4 z, com 0 <= x <= 2 e 0 <= z <= 2.
16(33 raiz33-17 raiz17)
33 raiz33-17 raiz17
13(33 raiz33-17 raiz17)
12(33 raiz33-17 raiz17)
112(33 raiz33-17 raiz17)