Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície , onde e é a superfície parametrizada por com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
Entender como parametrizar uma superfície.
Saber calcular o vetor normal à superfície usando o produto vetorial.
Aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A superfície é dada por , onde define uma região no plano .
Teoria Aplicada: A parametrização de uma superfície nos permite expressar os pontos da superfície em termos de dois parâmetros, aqui e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização.
Calculamos as derivadas parciais de :
Teoria Aplicada: O vetor normal à superfície é perpendicular à superfície e pode ser encontrado usando o produto vetorial das derivadas parciais.
Passo 4
Calculamos o produto vetorial :
Teoria Aplicada: O resultado do produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície.
Passo 5
A integral de superfície é dada por:
Onde é a região .
Substituímos :
Teoria Aplicada: Substituímos a parametrização na função vetor e preparamos para calcular o produto escalar com o vetor normal.
Passo 6
Calculamos o produto escalar :
Teoria Aplicada: O produto escalar entre e o vetor normal nos dá a função integranda para a integral de superfície.
Passo 7
A integral fica então:
Teoria Aplicada: Simplificamos a expressão da integral fatorando o -5.
Passo 8
Passamos para coordenadas polares para facilitar a integração, pois a região é um círculo de raio 2.
Fazemos a substituição:
E o elemento de área em coordenadas polares é .
Teoria Aplicada: Coordenadas polares são úteis para regiões circulares, simplificando a integração.
Passo 9
A integral se torna:
Teoria Aplicada: Substituímos por e por .
Passo 10
Calculamos a integral interna:
Teoria Aplicada: Integramos em relação a utilizando a fórmula de potência para integrais.
Passo 11
Agora, integramos em relação a :
Teoria Aplicada: A integração em relação a em um intervalo de a resulta na multiplicação pela medida do intervalo.