Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície , onde e é a superfície parametrizada por com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
Entender como parametrizar uma superfície.
Saber calcular o vetor normal à superfície usando o produto vetorial.
Aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A superfície é dada por , onde define uma região no plano .
Teoria Aplicada: A parametrização de uma superfície nos permite expressar os pontos da superfície em termos de dois parâmetros, aqui e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização.
Calculamos as derivadas parciais de :
Teoria Aplicada: O vetor normal à superfície é perpendicular à superfície e pode ser encontrado usando o produto vetorial das derivadas parciais.
Passo 4
Calculamos o produto vetorial :
Teoria Aplicada: O resultado do produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície.
Passo 5
A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Onde D é a região u^2 + v^2 <= 4.
Substituímos F(r(u, v)):
F(u, v, u^2 + v^2) = (2u, 2v, -(u^2 + v^2))
Teoria Aplicada: Substituímos a parametrização na função vetor F e preparamos para calcular o produto escalar com o vetor normal.
Passo 6
Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv):