Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície , onde e é a superfície parametrizada por com .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
  • Entender como parametrizar uma superfície.
  • Saber calcular o vetor normal à superfície usando o produto vetorial.
  • Aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A superfície é dada por , onde define uma região no plano .
Teoria Aplicada: A parametrização de uma superfície nos permite expressar os pontos da superfície em termos de dois parâmetros, aqui e .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização.
Calculamos as derivadas parciais de :
Teoria Aplicada: O vetor normal à superfície é perpendicular à superfície e pode ser encontrado usando o produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial :
Teoria Aplicada: O resultado do produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície.

Passo 5

A integral de superfície é dada por:
Onde é a região .
Substituímos :
Teoria Aplicada: Substituímos a parametrização na função vetor e preparamos para calcular o produto escalar com o vetor normal.

Passo 6

Calculamos o produto escalar :
Teoria Aplicada: O produto escalar entre e o vetor normal nos dá a função integranda para a integral de superfície.

Passo 7

A integral fica então:
Teoria Aplicada: Simplificamos a expressão da integral fatorando o -5.

Passo 8

Passamos para coordenadas polares para facilitar a integração, pois a região é um círculo de raio 2.
Fazemos a substituição:
E o elemento de área em coordenadas polares é .
Teoria Aplicada: Coordenadas polares são úteis para regiões circulares, simplificando a integração.

Passo 9

A integral se torna:
Teoria Aplicada: Substituímos por e por .

Passo 10

Calculamos a integral interna:
Teoria Aplicada: Integramos em relação a utilizando a fórmula de potência para integrais.

Passo 11

Agora, integramos em relação a :
Teoria Aplicada: A integração em relação a em um intervalo de a resulta na multiplicação pela medida do intervalo.

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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