Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S, em que F(x, y, z)=(2 x, 2 y,-z) e S é a superfície parametrizada dada por r(u, v)=(u, v, u^2+v^2), com u^2+v^2 <= 4.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F , dS, onde F(x, y, z) = (2x, 2y, -z) e S é a superfície parametrizada por r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2) com u^2 + v^2 <= 4.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
  • Entender como parametrizar uma superfície.
  • Saber calcular o vetor normal à superfície usando o produto vetorial.
  • Aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A superfície S é dada por r(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), onde u^2 + v^2 <= 4 define uma região no plano uv.
Teoria Aplicada: A parametrização de uma superfície nos permite expressar os pontos da superfície em termos de dois parâmetros, aqui u e v.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização.
Calculamos as derivadas parciais de r(u, v):
ru = partial rpartial u = (1, 0, 2u)
rv = partial rpartial v = (0, 1, 2v)
Teoria Aplicada: O vetor normal à superfície é perpendicular à superfície e pode ser encontrado usando o produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial ru times rv:
ru times rv = i & j & k 1 & 0 & 2u 0 & 1 & 2v = i(0 cdot 2v - 1 cdot 2u) - j(1 cdot 2v - 0 cdot 2u) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = (-2u, -2v, 1)
Teoria Aplicada: O resultado do produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície.

Passo 5

A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Onde D é a região u^2 + v^2 <= 4.
Substituímos F(r(u, v)):
F(u, v, u^2 + v^2) = (2u, 2v, -(u^2 + v^2))
Teoria Aplicada: Substituímos a parametrização na função vetor F e preparamos para calcular o produto escalar com o vetor normal.

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv):
F cdot (ru times rv) = (2u)(-2u) + (2v)(-2v) + (-(u^2 + v^2))(1) = -4u^2 -4v^2 - u^2 - v^2 = -5u^2 -5v^2
Teoria Aplicada: O produto escalar entre F e o vetor normal nos dá a função integranda para a integral de superfície.

Passo 7

A integral fica então:
integral duplaD (-5u^2 -5v^2) , du , dv = -5 integral duplaD (u^2 + v^2) , du , dv
Teoria Aplicada: Simplificamos a expressão da integral fatorando o -5.

Passo 8

Passamos para coordenadas polares para facilitar a integração, pois a região D é um círculo de raio 2.
Fazemos a substituição:
u = rcostheta, v = rsintheta, u^2 + v^2 = r^2
E o elemento de área em coordenadas polares é du , dv = r , dr , dtheta.
Teoria Aplicada: Coordenadas polares são úteis para regiões circulares, simplificando a integração.

Passo 9

A integral se torna:
-5 integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = -5 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta
Teoria Aplicada: Substituímos u^2 + v^2 por r^2 e du , dv por r , dr , dtheta.

Passo 10

Calculamos a integral interna:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
Teoria Aplicada: Integramos em relação a r utilizando a fórmula de potência para integrais.

Passo 11

Agora, integramos em relação a theta:
-5 integral0^2pi 4 , dtheta = -20 [ theta ]0^2pi = -20 (2pi - 0) = -40pi
Teoria Aplicada: A integração em relação a theta em um intervalo de 0 a 2pi resulta na multiplicação pela medida do intervalo.

Resposta

A integral de superfície é igual a -40pi.

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