Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para deslocar uma partícula sobre a curva
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o trabalho realizado por um campo de força
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva pela qual a partícula está se movendo. A curva é dada por:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
, determinando a posição da partícula no espaço em cada instante.
Passo 3
O trabalho
realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva é calculado pela integral de linha da força ao longo dessa curva. A fórmula para o trabalho é:
Onde:
-
é o campo de força. -
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva. - O ponto (
) representa o produto escalar entre os dois vetores.
Passo 4
Vamos parametrizar o campo de força
em termos de
substituindo as componentes de
na expressão de
. Dado:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
:
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar entre
e
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, vamos integrar o resultado obtido no passo anterior no intervalo de
a
para encontrar o trabalho realizado:
Essa integral pode ser resolvida numericamente para obter o valor do trabalho.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é dado pela integral:
Para obter o valor numérico do trabalho, essa integral deve ser avaliada utilizando métodos de integração numérica.
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Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação vetorial do plano tangente à
no ponto
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine uma parametrização de
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a integral de superfície
.
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície parametrizada dada por
, com
.