Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = y^2 cos(z) i + 2xy cos(z) j - xy^2 sen(z) k para deslocar uma partícula sobre a curva r(t) = (t^2, t, sen(t)), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o trabalho realizado por um campo de força F(x, y, z) quando uma partícula se move ao longo de uma curva vec(r)(t) no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva pela qual a partícula está se movendo. A curva é dada por:
Aqui, t é o parâmetro que varia de 0 a pi, determinando a posição da partícula no espaço em cada instante.

Passo 3

O trabalho W realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva é calculado pela integral de linha da força ao longo dessa curva. A fórmula para o trabalho é:
Onde:
  • F é o campo de força.
  • é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva.
  • O ponto ( \cdot) representa o produto escalar entre os dois vetores.

Passo 4

Vamos parametrizar o campo de força F(x, y, z) em termos de t substituindo as componentes de vec(r)(t) na expressão de F. Dado:
Substituindo , e :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade :

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar entre e :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar o resultado obtido no passo anterior no intervalo de a para encontrar o trabalho realizado:
Essa integral pode ser resolvida numericamente para obter o valor do trabalho.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é dado pela integral:
Para obter o valor numérico do trabalho, essa integral deve ser avaliada utilizando métodos de integração numérica.

Exercícios relacionados