Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4 e acima do plano x y. Calcule a integral de superfície integral duplaS y^2 d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parte de uma esfera definida por que está dentro de um cilindro e acima do plano . Precisamos calcular a integral de superfície .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e geometria espacial. Vamos precisar conhecer como parametrizar superfícies e calcular integrais usando coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos considerando. Temos uma esfera de raio 3 (porque ) e um cilindro de raio 2 ao redor do eixo z. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano .

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Como estamos na esfera , temos .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites para os ângulos rho sinphi = 2 Rightarrow sinphi = 23 e que correspondem à parte da esfera dentro do cilindro . Em coordenadas esféricas, o cilindro se traduz para:
Isso nos dá o valor de onde a esfera intersecta o cilindro. Portanto, varia de 0 até .
Para , como o cilindro é simétrico em relação ao eixo z, varia de 0 a .

Passo 5

A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^arcsin(23) f(rho, phi, theta) cdot rho^2 sinphi , dphi , dtheta
No nosso caso, y = rho sinphi sintheta Rightarrow y^2 = rho^2 sin^2phi sin^2theta . Vamos expressar y^2 = 9 sin^2phi sin^2theta em coordenadas esféricas:
Como , temos:

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
integral duplaS y^2 , dS = integral0^2pi integral0^arcsin(23) 9 sin^2phi sin^2theta cdot 9 sinphi , dphi , dtheta
Simplificando:
= 81 integral0^2pi sin^2theta , dtheta integral0^arcsin(23) sin^3phi , dphi

Passo 7

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi :
integral0^arcsin(23) sin^3phi , dphi
Porque = integral sinphi , dphi - integral sinphi cos^2phi , dphi = -cosphi + cos^3phi3 g|0^arcsin(23) .
Agora, a integral em = ( -raiz53 + (raiz53)^33 ) - ( -1 + 13 ) = -raiz53 + 5raiz581 + 23 :
= 23 - raiz53 + 5raiz581 = 23 - 78raiz581 = 23 - 26raiz527
Podemos usar a identidade e integrar:
Calculando os limites:
Quando , .
Quando , .
Portanto:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de superfície integral duplaS y^2 , dS = 81 cdot pi cdot ( 23 - 26raiz527 ) = 54pi - 78piraiz5 vale:

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