Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a integral de superfície .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parte de uma esfera definida por que está dentro de um cilindro e acima do plano . Precisamos calcular a integral de superfície .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e geometria espacial. Vamos precisar conhecer como parametrizar superfícies e calcular integrais usando coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos considerando. Temos uma esfera de raio 3 (porque ) e um cilindro de raio 2 ao redor do eixo z. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano .
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
Como estamos na esfera , temos .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os limites para os ângulos e que correspondem à parte da esfera dentro do cilindro . Em coordenadas esféricas, o cilindro se traduz para:
Isso nos dá o valor de onde a esfera intersecta o cilindro. Portanto, varia de 0 até .
Para , como o cilindro é simétrico em relação ao eixo z, varia de 0 a .
Passo 5
A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
No nosso caso, . Vamos expressar em coordenadas esféricas:
Como , temos:
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :