Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a integral de superfície .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parte de uma esfera definida por que está dentro de um cilindro e acima do plano . Precisamos calcular a integral de superfície .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e geometria espacial. Vamos precisar conhecer como parametrizar superfícies e calcular integrais usando coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos considerando. Temos uma esfera de raio 3 (porque ) e um cilindro de raio 2 ao redor do eixo z. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano .

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser descrito por:
Como estamos na esfera , temos .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites para os ângulos e que correspondem à parte da esfera dentro do cilindro . Em coordenadas esféricas, o cilindro se traduz para:
Isso nos dá o valor de onde a esfera intersecta o cilindro. Portanto, varia de 0 até .
Para , como o cilindro é simétrico em relação ao eixo z, varia de 0 a .

Passo 5

A integral de superfície em coordenadas esféricas é dada por:
No nosso caso, . Vamos expressar em coordenadas esféricas:
Como , temos:

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Porque .
Agora, a integral em :
Podemos usar a identidade e integrar:
Calculando os limites:
Quando , .
Quando , .
Portanto:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de superfície vale:

Exercícios relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força para deslocar uma partícula sobre a curva .
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação vetorial do plano tangente à no ponto .
Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Encontre a derivada das funções abaixo: .