Encontre a derivada das funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas envolvendo integrais de limites que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de derivação de integrais com limites variáveis, também conhecida como a Regra de Leibniz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de
, ou seja,
, então a derivada dessa função em relação a
é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função integranda nos limites, multiplicados pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a regra:
- A função integranda é
. - O limite superior é
. A derivada de em relação a é , já que 1 é constante. - O limite inferior é
. A derivada de em relação a é .
Passo 4
Aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que identificamos:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície parametrizada dada por
, com
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a integral de superfície
.
Lendo os valores do gráfico dado de
, utilize oito retângulos para encontrar as estimativas inferior e superior para a área sob o gráfico de
de
até
. Em cada caso, esboce os retângulos que utilize.
Calcule as integrais inferior e superior de
no intervalo
.