Encontre a derivada das funções abaixo: y=integralsen x^1 raiz1+t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas envolvendo integrais de limites que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de derivação de integrais com limites variáveis, também conhecida como a Regra de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de dydx = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada dessa função em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função integranda nos limites, multiplicados pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função para aplicar a regra:
  • A função integranda é .
  • O limite superior é . A derivada de em relação a é , já que 1 é constante.
  • O limite inferior é . A derivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz:
dydx = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que identificamos:
dydx = raiz1 + (1)^2 cdot 0 - raiz1 + (sin x)^2 cdot cos x
Simplificando:
dydx = 0 - raiz1 + sin^2x cdot cos x
dydx = -cos x cdot raiz1 + sin^2x

Resposta

A derivada da função é .

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