Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Aqui, queremos calcular a integral dupla , onde . A superfície é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional, parametrizar a borda da superfície e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de borda da nossa superfície . A interseção entre a esfera e o cilindro nos dá essa curva. Se substituirmos na equação da esfera, encontramos que , então (já que estamos acima do plano ). Portanto, é um círculo no plano com raio 1.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva . Como é um círculo no plano com raio 1, podemos usar coordenadas polares:
Aqui, varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Vamos calcular o campo vetorial ao longo da curva parametrizada. Substituindo em :
Ou seja:

Passo 5

Precisamos do elemento diferencial de linha . Derivando em relação a :
Então:

Passo 6

A integral de linha fica então:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então
Seja uma superfície orientada com vetor normal unitário . Considere um fluido com densidade e campo de velocidade escoando através de . Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de é dada por
Suponha que um fluido tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .
Sejam , e a superfície fronteira do sólido , com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície .