Use o Teorema de Stokes para calcular
, em que
, e
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Aqui, queremos calcular a integral dupla
, onde
. A superfície
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional, parametrizar a borda da superfície e aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de borda
da nossa superfície
. A interseção entre a esfera
e o cilindro
nos dá essa curva. Se substituirmos
na equação da esfera, encontramos que
, então
(já que estamos acima do plano
). Portanto,
é um círculo no plano
com raio 1.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva
. Como é um círculo no plano
com raio 1, podemos usar coordenadas polares:
Aqui,
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 4
Vamos calcular o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada. Substituindo
em
:
Ou seja:
Passo 5
Precisamos do elemento diferencial de linha
. Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 6
A integral de linha fica então:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície parametrizada dada por
, com
.
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então
(a) se
Seja
uma superfície orientada com vetor normal unitário
. Considere um fluido com densidade
e campo de velocidade
escoando através de
. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de
é dada por
Suponha que um fluido tem densidade
e escoa em um campo de velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério
.
Sejam
, e
a superfície fronteira do sólido
, com normal apontando para fora do sólido E. Calcule a integral de superfície
.