Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S, em que F(x, y, z)=(x z, y z, x y), e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Aqui, queremos calcular a integral dupla integral duplaS rot F , dS, onde F(x, y, z) = (x z, y z, x y). A superfície S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano xy. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional, parametrizar a borda da superfície e aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de borda partial S da nossa superfície S. A interseção entre a esfera x^2+y^2+z^2=4 e o cilindro x^2+y^2=1 nos dá essa curva. Se substituirmos x^2+y^2=1 na equação da esfera, encontramos que z^2 = 4 - 1 = 3, então z = raiz3 (já que estamos acima do plano xy). Portanto, partial S é um círculo no plano z = raiz3 com raio 1.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva partial S. Como é um círculo no plano z = raiz3 com raio 1, podemos usar coordenadas polares:
r(t) = (cos t, sin t, raiz3), t in [0, 2pi]
Aqui, t varia de 0 a 2pi para percorrer todo o círculo.

Passo 4

Vamos calcular o campo vetorial F ao longo da curva parametrizada. Substituindo r(t) em F(x, y, z):
F(r(t)) = (cos t cdot raiz3, sin t cdot raiz3, cos t cdot sin t)
Ou seja:
F(r(t)) = (raiz3 cos t, raiz3 sin t, cos t sin t)

Passo 5

Precisamos do elemento diferencial de linha dr. Derivando r(t) em relação a t:
drdt = (-sin t, cos t, 0)
Então:
dr = (-sin t, cos t, 0) , dt

Passo 6

A integral de linha fica então:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( raiz3 cos t cdot (-sin t) + raiz3 sin t cdot cos t + cos t sin t cdot 0 ) dt
Simplificando:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -raiz3 cos t sin t + raiz3 sin t cos t ) dt = integral0^2pi 0 , dt = 0

Resposta

A integral dupla integral duplaS rot F , dS é igual a 0.

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