Calcule a integral de superfície
em que a superficie S é dada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de superfície
. A superfície
está definida por
, onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função
. A fórmula para a diferencial de área
nessa situação é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula de
:
Passo 5
Agora, substituímos
na função que estamos integrando:
Passo 6
A integral de superfície fica então:
onde
é a região onde
e
.
Passo 7
Vamos calcular a integral dupla:
Passo 8
Calculando as integrais internas:
e
Passo 9
Substituindo de volta na integral dupla:
Passo 10
Resolvendo as integrais:
e
Passo 11
Somando os resultados:
Passo 12
Multiplicando pelo
que veio do
:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.