Calcule a integral de superfície integral duplaS(x^2+y+z) d S em que a superficie S é dada por g(x, y)=3 y ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS(x^2+y+z) d S. A superfície S está definida por z = 3y, onde x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função z = g(x, y). A fórmula para a diferencial de área dS nessa situação é:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z = 3y:
partial zpartial x = 0 e partial zpartial y = 3

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula de dS:
dS = raiz0^2 + 3^2 + 1 , dx , dy = raiz0 + 9 + 1 , dx , dy = raiz10 , dx , dy

Passo 5

Agora, substituímos z = 3y na função que estamos integrando:
x^2 + y + z = x^2 + y + 3y = x^2 + 4y

Passo 6

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (x^2+4y) raiz10 , dx , dy = raiz10 integral duplaD (x^2+4y) , dx , dy
onde D é a região onde 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (x^2+4y) , dx , dy = integral0^2 ( integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 4y , dx ) dy

Passo 8

Calculando as integrais internas:
integral0^1 x^2 , dx = [x^33]0^1 = 13
e
integral0^1 4y , dx = 4y [ x ]0^1 = 4y

Passo 9

Substituindo de volta na integral dupla:
integral0^2 ( 13 + 4y ) dy = 13 integral0^2 dy + 4 integral0^2 y , dy

Passo 10

Resolvendo as integrais:
13 integral0^2 dy = 13 cdot 2 = 23
e
4 integral0^2 y , dy = 4 [ y^22 ]0^2 = 4 cdot 42 = 8

Passo 11

Somando os resultados:
23 + 8 = 23 + 243 = 263

Passo 12

Multiplicando pelo raiz10 que veio do dS:
raiz10 cdot 263 = 26raiz103

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac26,raiz103.

Exercícios relacionados