Calcule os seguintes limites usando Le) lim x infty e^xx^n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando tende ao infinito da função . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, observamos que quando tende ao infinito, tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limites. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que é um caso ideal para aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite substituir o limite original pelo limite das derivadas do numerador e do denominador.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Calculamos a derivada do numerador e a derivada do denominador:
Derivada do numerador: ddx e^x = e^x
Derivada do denominador: ddx x^n = n x^n-1
Então, o limite fica:
limx to infty e^xx^n = limx to infty e^xn x^n-1

Passo 4

Percebemos que ainda temos a forma Derivada do numerador: ddx e^x = e^x . Podemos aplicar a Regra de L’Hospital novamente. Repetimos o processo de derivar numerador e denominador:
Derivada do denominador: ddx (n x^n-1) = n(n-1) x^n-2
limx to infty e^xn(n-1) x^n-2
O limite agora é:

Passo 5

Podemos continuar aplicando a Regra de L’Hospital até que o denominador se torne uma constante. Após limx to infty e^xn! aplicações da regra, teremos:
Nesse ponto, o numerador ainda tende ao infinito, enquanto o denominador é uma constante finita. Portanto, o limite final é:

Resposta

limx infty e^xx^n = infty

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