Calcule os seguintes limites usando Le)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando
tende ao infinito da função
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
tende ao infinito, tanto o numerador
quanto o denominador
crescem sem limites. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que é um caso ideal para aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite substituir o limite original pelo limite das derivadas do numerador e do denominador.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Calculamos a derivada do numerador e a derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 4
Percebemos que ainda temos a forma
. Podemos aplicar a Regra de L’Hospital novamente. Repetimos o processo de derivar numerador e denominador:
O limite agora é:
Passo 5
Podemos continuar aplicando a Regra de L’Hospital até que o denominador se torne uma constante. Após
aplicações da regra, teremos:
Nesse ponto, o numerador
ainda tende ao infinito, enquanto o denominador
é uma constante finita. Portanto, o limite final é: