Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, mais especificamente das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções exponenciais se relacionam com a equação diferencial original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral tem a forma
, onde
e
são as raízes da equação característica associada.
Passo 3
No seu caso, as soluções são
e
, o que nos diz que as raízes da equação característica são
e
.
Passo 4
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem é dada por:
onde
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
usando as raízes que encontramos:
Passo 6
Substituindo
e
na equação característica, temos:
Passo 7
Agora, a equação diferencial original corresponde à equação característica acima. Portanto, a equação diferencial é:
Resposta
A equação diferencial é
.