Calcule em que a curva é o segmento de reta do ponto ao ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é uma reta que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para representar todos os pontos dessa reta.
A parametrização fica assim:
Aqui, quando , obtemos o ponto inicial , e quando , chegamos no ponto final .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções de parametrização em relação a dxdt = 0 dydt = -1 dzdt = 4 . Essas derivadas nos dão dx = 0 cdot dt = 0 , dy = -1 cdot dt = -dt e dz = 4 cdot dt = 4dt , que usaremos na integral.
Portanto:
Passo 4
Vamos substituir as parametrizações e as derivadas na integral original:
integralC y , dx + z , dy - x , dz = integral0^1 y(t) cdot dxdt , dt + z(t) cdot dydt , dt - x(t) cdot dzdt , dt