Calcule integralC y d x+z d y-x d z em que a curva C é o segmento de reta do ponto (1,1,1) ao ponto (1,0,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é uma reta que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 1 y(t) = 1 - t z(t) = 1 + 4t . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para representar todos os pontos dessa reta.
A parametrização fica assim:
Aqui, quando , obtemos o ponto inicial , e quando , chegamos no ponto final .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções de parametrização em relação a dxdt = 0 dydt = -1 dzdt = 4 . Essas derivadas nos dão dx = 0 cdot dt = 0 , dy = -1 cdot dt = -dt e dz = 4 cdot dt = 4dt , que usaremos na integral.
Portanto:

Passo 4

Vamos substituir as parametrizações e as derivadas na integral original:
integralC y , dx + z , dy - x , dz = integral0^1 y(t) cdot dxdt , dt + z(t) cdot dydt , dt - x(t) cdot dzdt , dt
Substituindo os valores que encontramos:
integral0^1 (1 - t) cdot 0 , dt + (1 + 4t) cdot (-1) , dt - 1 cdot 4 , dt
Simplificando:
integral0^1 0 , dt + integral0^1 (-1 - 4t) , dt - integral0^1 4 , dt

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. 0 + (-3) - 4 = -7
Agora, somando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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