Calcule
em que o campo vetorial é
e a curva C é dada pela equação vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é descrita pela equação vetorial , com
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
. Essa é uma integral que calcula o trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
. Para resolver isso, vamos parametrizar a curva usando a função
fornecida.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do campo vetorial
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida de
a
:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar as identidades trigonométricas para e
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Resposta
A integral de linha
vale
.