Calcule integralC F cdot d r em que o campo vetorial é F=y i+3 x j e a curva C é dada pela equação vetorial r(t)=cos (t) i+sen(t) j, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial é F=y i+3 x j e a curva C é descrita pela equação vetorial , com r(t)=cos (t) i+sen(t) j. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa integralC F cdot d r. Essa é uma integral que calcula o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C. Para resolver isso, vamos parametrizar a curva usando a função r(t) fornecida.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, ou seja, r,'(t):

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na expressão do campo vetorial F:

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t):

Passo 6

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral definida de t=0 a t=pi:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar as identidades trigonométricas para e sen^2(t):
Substituindo na integral:
cos^2(t)

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^pi (-12 + cos(2t)2 + 32 + 3cos(2t)2) , dt = integral0^pi (1 + 2cos(2t)) , dt

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale pi.

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