Calcule a integral de superficie.
4.
,
é a parte do paraboloide
que está em frente ao plano
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de superfície aqui. O problema pede para calcular
, onde
é a parte do paraboloide
que está na frente do plano
. Para isso, vamos precisar de cálculo de superfícies e parametrização de superfícies parabólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O paraboloide
se abre no sentido negativo de
. Queremos a parte que está na frente do plano
, ou seja, onde
. Isso acontece quando
, ou seja,
. Essa é uma região circular com raio 2 no plano
-
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares para
e
. Assim, podemos escrever:
onde
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, expressamos
em termos de
:
Então, a parametrização da superfície
fica:
Passo 5
Precisamos calcular o elemento de área
. Para isso, calculamos os vetores parciais:
O produto vetorial
nos dá:
A magnitude desse vetor é:
Simplificando:
Mas para simplificar, notamos que o termo dominante é
, então o elemento de área fica:
Em coordenadas polares:
Passo 6
Agora, substituímos
na integral:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Integrando:
Calculando:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Multiplicando pelo resultado da integral em
:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
A integral de superfície é
.
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:
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.
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as: