Calcule a integral de superficie.
4. integral duplas(y^2+z^2) d S,
S é a parte do paraboloide x=4-y^2-z^2 que está em frente ao plano x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de superfície aqui. O problema pede para calcular , onde é a parte do paraboloide que está na frente do plano . Para isso, vamos precisar de cálculo de superfícies e parametrização de superfícies parabólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O paraboloide se abre no sentido negativo de . Queremos a parte que está na frente do plano , ou seja, onde . Isso acontece quando , ou seja, . Essa é uma região circular com raio 2 no plano - .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares para y = r costheta e z = r sintheta e . Assim, podemos escrever:
onde varia de 0 a 2 e varia de 0 a .

Passo 4

Agora, expressamos x = 4 - r^2 em termos de r(r, theta) = (4 - r^2, r costheta, r sintheta) :
Então, a parametrização da superfície fica:

Passo 5

Precisamos calcular o elemento de área rr = (-2r, costheta, sintheta) . Para isso, calculamos os vetores parciais:
rtheta = (0, -r sintheta, r costheta)
rr times rtheta = ( -r costheta, 2r^2 costheta, 2r^2 sintheta )
O produto vetorial |rr times rtheta| = raiz(-r costheta)^2 + (2r^2 costheta)^2 + (2r^2 sintheta)^2 = raizr^2 cos^2theta + 4r^4 cos^2theta + 4r^4 sin^2theta nos dá:
|rr times rtheta| = raizr^2 cos^2theta + 4r^4 = r raizcos^2theta + 4r^2
A magnitude desse vetor é:
Simplificando:
dS = raiz1 + (partial xpartial y)^2 + (partial xpartial z)^2 , dy , dz = raiz1 + 4y^2 + 4z^2 , dy , dz
Mas para simplificar, notamos que o termo dominante é dS = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta , então o elemento de área fica:
Em coordenadas polares:

Passo 6

Agora, substituímos integral duplaS (y^2 + z^2) dS = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr , dtheta na integral:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr :
18 integral1^17 (u - 1)4 raizu , du = 132 integral1^17 (u^1/2 - u^-1/2) , du
Fazemos a substituição 132 [ 23 u^3/2 - 2u^1/2 ]1^17 = 132 ( 23 (17)^3/2 - 2(17)^1/2 - ( 23 (1)^3/2 - 2(1)^1/2 ) ) , então 132 ( 23 cdot 17raiz17 - 2raiz17 - ( 23 - 2 ) ) = 132 ( 23 cdot 17raiz17 - 2raiz17 + 43 ) ou . Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando:
Calculando:

Passo 8

Agora, integramos em integral0^2pi dtheta = 2pi :
2pi cdot 132 ( 23 cdot 17raiz17 - 2raiz17 + 43 ) = pi16 ( 343raiz17 - 2raiz17 + 43 )
Multiplicando pelo resultado da integral em pi16 ( 34 - 63 raiz17 + 43 ) = pi16 ( 283 raiz17 + 43 ) = pi16 cdot 28raiz17 + 43 = pi (28raiz17 + 4)48 :
pi (7raiz17 + 1)12
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:

Resposta

A integral de superfície é .

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