Calcule a integral de superficie.
4. ,
é a parte do paraboloide que está em frente ao plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de superfície aqui. O problema pede para calcular , onde é a parte do paraboloide que está na frente do plano . Para isso, vamos precisar de cálculo de superfícies e parametrização de superfícies parabólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O paraboloide se abre no sentido negativo de . Queremos a parte que está na frente do plano , ou seja, onde . Isso acontece quando , ou seja, . Essa é uma região circular com raio 2 no plano - .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares para e . Assim, podemos escrever:
onde varia de 0 a 2 e varia de 0 a .

Passo 4

Agora, expressamos em termos de :
Então, a parametrização da superfície fica:

Passo 5

Precisamos calcular o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores parciais:
O produto vetorial nos dá:
A magnitude desse vetor é:
Simplificando:
Mas para simplificar, notamos que o termo dominante é , então o elemento de área fica:
Em coordenadas polares:

Passo 6

Agora, substituímos na integral:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em :
Fazemos a substituição , então ou . Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando:
Calculando:

Passo 8

Agora, integramos em :
Multiplicando pelo resultado da integral em :
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:

Resposta

A integral de superfície é .

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