Use a regra da cadeia para achar .

Passo 1

Beleza! Vamos lá: a gente precisa encontrar usando a regra da cadeia. Estamos trabalhando com funções compostas aqui. As equações que temos são:
Então, vamos precisar usar a derivada de uma função composta, ou seja, a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que depende de e , que por sua vez dependem de . Então, para achar , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Simplificando os termos:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos substituir e na expressão :
Então,

Resposta

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Use a regra da cadeia para achar .
Calcule os pontos críticos de , onde .
Use a derivação implícita para determinar :
Calcule a integral de superficie.
4. ,
é a parte do paraboloide que está em frente ao plano