Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para identificar a superfície que tem a equação paramétrica dada: , onde
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente a análise de superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente da equação contribui para formar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da equação paramétrica. Ela está dividida em três componentes:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam para gerar pontos na superfície.
Passo 3
Vamos olhar para as primeiras duas equações: e
. Essas equações nos lembram a parametrização de uma elipse. Uma elipse padrão é dada por
, onde
e
são os semi-eixos.
Passo 4
Comparando, temos:
-
(porque ) -
(porque )
Portanto, a projeção no plano
é uma elipse com semi-eixos de 2 e 3 unidades.
Passo 5
Agora, a terceira equação é
, onde
varia de 0 a 2. Isso significa que, para cada ponto na elipse,
pode assumir qualquer valor entre 0 e 2.
Passo 6
Juntando tudo, a superfície é formada pela movimentação da elipse verticalmente ao longo do eixo
, entre
e
. Isso caracteriza um cilindro, mas como a base é uma elipse e não um círculo, chamamos de cilindro elíptico.
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico limitado entre
e
.