Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
4. r(u, v) = 2 sen(u) i + 3 cos(u) j + v k, 0 <= v <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para identificar a superfície que tem a equação paramétrica dada: , onde . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente a análise de superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente da equação contribui para formar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da equação paramétrica. Ela está dividida em três componentes:
Aqui, e são os parâmetros que variam para gerar pontos na superfície.

Passo 3

Vamos olhar para as primeiras duas equações: e . Essas equações nos lembram a parametrização de uma elipse. Uma elipse padrão é dada por , onde e são os semi-eixos.

Passo 4

Comparando, temos:
  • (porque )
  • (porque )
Portanto, a projeção no plano é uma elipse com semi-eixos de 2 e 3 unidades.

Passo 5

Agora, a terceira equação é , onde varia de 0 a 2. Isso significa que, para cada ponto na elipse, pode assumir qualquer valor entre 0 e 2.

Passo 6

Juntando tudo, a superfície é formada pela movimentação da elipse verticalmente ao longo do eixo , entre e . Isso caracteriza um cilindro, mas como a base é uma elipse e não um círculo, chamamos de cilindro elíptico.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico limitado entre e .

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