Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(-x z,-y z, z^2) e S è a esfera de raio 5 centrada na origem.
0
pi
125 pi
10003 pi
1000 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) = (-x z, -y z, z^2) sobre a superfície S, que é uma esfera de raio 5 centrada na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Divergente e como aplicá-lo em integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Esse teorema estabelece que a integral de superfície de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral de volume do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Em fórmula:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso simplifica bastante o cálculo, pois muitas vezes é mais fácil integrar no volume do que diretamente na superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso à nossa função:
nabla cdot F = partial (-x z)partial x + partial (-y z)partial y + partial (z^2)partial z = -z - z + 2z = 0
O divergente é zero!

Passo 4

Com o divergente igual a zero, a integral de volume também será zero:
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV 0 , dV = 0
Portanto, pela igualdade do Teorema do Divergente:
integral duplaS F cdot dS = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie integral duplaS F cdot d S em que F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3) e S é a superficie da esfera de raio 1 centrada na origem.
125 pi
45 pi
25 pi
65 pi
35 pi
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43
-43
13
-13
83
Determine a área da superficie parametrizada por r(u, v) = (u cos v, u sen v, 3 u), com 0 <= u <= 4 e 0 <= v <= 2 pi.
16 pi raiz(10), 4 pi raiz(10), 16 pi, 4 pi, pi raiz(10)
Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S em que S é a superfície parametrizada por r(u, v)=(u v, u+v, u-v), com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano u v.
0
1
2 pi
4 pi