Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S è a esfera de raio 5 centrada na origem.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
, que é uma esfera de raio 5 centrada na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Divergente e como aplicá-lo em integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Esse teorema estabelece que a integral de superfície de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral de volume do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Em fórmula:
Isso simplifica bastante o cálculo, pois muitas vezes é mais fácil integrar no volume do que diretamente na superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Aplicando isso à nossa função:
O divergente é zero!
Passo 4
Com o divergente igual a zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, pela igualdade do Teorema do Divergente:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilize o teorema do divergente para calcular a integral de superficie
em que
e S é a superficie da esfera de raio 1 centrada na origem.
Utilize o teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é o triângulo de vértices
orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Determine a área da superficie parametrizada por
, com
.
Calcule a integral de superfície
em que
é a superfície parametrizada por
, com domínio definido pelo disco de raio 1 centrado na origem do plano
.
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