Calcule a integral de superfície
, em que
, e
é a superfície fronteira do cilindro
, com normal apontando para fora do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
, que é a fronteira do cilindro
definido por
e
. A normal dessa superfície aponta para fora do cilindro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos conhecer o cálculo de divergentes e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial
. A divergência de
, denotada por
, é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de
em relação às suas respectivas variáveis:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que:
Substituindo a divergência que encontramos:
Como
é um cilindro com
e
, é mais fácil calcular essa integral em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume é
. Os limites são
de
a
,
de
a
e
de
a
.
Passo 5
Configurando a integral em coordenadas cilíndricas:
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integremos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
Então:
Simplificando a segunda integral:
Portanto:
Avaliando de
a
:
Passo 6
Agora, voltamos à integral original:
Note que
é constante em relação a
e
, então podemos fatorar:
Calculando a integral interna em
:
E a integral em
:
Então, a integral total é:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.