Calcule a integral de superfície integral duplasigma F d S, em que F(x, y, z)=(4 x^2-e^y,-8 x y+z,-z+(1+z) ln (1+z)), e sigma é a superfície fronteira do cilindro E=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= z <= 4, x^2+y^2 <= 4, com normal apontando para fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z)=(4 x^2-e^y,-8 x y+z,-z+(1+z) ln (1+z)) sobre a superfície sigma, que é a fronteira do cilindro E definido por 0 <= z <= 4 e x^2+y^2 <= 4. A normal dessa superfície aponta para fora do cilindro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos conhecer o cálculo de divergentes e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial F. A divergência de F, denotada por nabla cdot F, é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente de F em relação às suas respectivas variáveis:
nabla cdot F = partialpartial x(4x^2 - e^y) + partialpartial y(-8xy + z) + partialpartial z(-z + (1+z)ln(1+z))

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
partialpartial x(4x^2 - e^y) = 8x
partialpartial y(-8xy + z) = -8x
partialpartial z(-z + (1+z)ln(1+z)) = -1 + ln(1+z) + 1+z1+z = -1 + ln(1+z) + 1 = ln(1+z)
Então, a divergência fica:
nabla cdot F = 8x - 8x + ln(1+z) = ln(1+z)

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que:
integral duplasigma F cdot dS = integral triplaE nabla cdot F , dV
Substituindo a divergência que encontramos:
integral duplasigma F cdot dS = integral triplaE ln(1+z) , dV
Como E é um cilindro com x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= z <= 4, é mais fácil calcular essa integral em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta,; y = rsintheta,; z = z
O elemento de volume é dV = r, dr, dtheta, dz. Os limites são r de 0 a 2, theta de 0 a 2pi e z de 0 a 4.

Passo 5

Configurando a integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE ln(1+z) , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^4 ln(1+z) , r, dz, dr, dtheta
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integremos em relação a z:
integral0^4 ln(1+z) , dz
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes, onde:
u = ln(1+z) Rightarrow du = 11+z dz
dv = dz Rightarrow v = z
Então:
integral ln(1+z) , dz = z ln(1+z) - integral z1+z dz
Simplificando a segunda integral:
z1+z = 1 - 11+z Rightarrow integral z1+z dz = integral 1 dz - integral 11+z dz = z - ln(1+z)
Portanto:
integral ln(1+z) , dz = z ln(1+z) - (z - ln(1+z)) = (z + 1)ln(1+z) - z
Avaliando de 0 a 4:
[(4 + 1)ln(5) - 4] - [(0 + 1)ln(1) - 0] = 5ln(5) - 4

Passo 6

Agora, voltamos à integral original:
integral0^2pi integral0^2 (5ln(5) - 4) , r, dr, dtheta
Note que 5ln(5) - 4 é constante em relação a r e theta, então podemos fatorar:
(5ln(5) - 4) integral0^2pi integral0^2 r, dr, dtheta
Calculando a integral interna em r:
integral0^2 r, dr = [12r^2]0^2 = 12(4) = 2
E a integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, a integral total é:
(5ln(5) - 4) times 2 times 2pi = (5ln(5) - 4) times 4pi

Resposta

A integral de superfície integral duplasigma F cdot dS é igual a 4pi (5ln(5) - 4).

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