Seja
um sólido simples do
. Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de
através de uma integral de superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido chamado
no espaço tridimensional (
) e queremos calcular o volume desse sólido usando o Teorema do Divergente. Para isso, vamos precisar saber o que é esse teorema e como aplicá-lo para relacionar uma integral de volume com uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele estabelece que para um campo vetorial
suficientemente suave definido em um volume
com fronteira
(a superfície que envolve
), a integral da divergência de
sobre o volume é igual à integral de superfície de
vezes o vetor normal
na superfície. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso ao cálculo do volume de
. Para isso, precisamos escolher um campo vetorial
que, quando calcularmos a divergência
, nos ajude a expressar o volume. Uma boa escolha é usar o próprio vetor posiç��o
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência desse vetor posição:
Então, a divergência de
é constante e igual a 3.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Divergente com
, temos:
Substituindo a divergência que calculamos:
Passo 6
O lado esquerdo da equação representa três vezes o volume de
, ou seja,
. Então podemos escrever:
Resposta
Isolando o volume
, temos a fórmula para calcular o volume de
através de uma integral de superfície: