Seja um sólido simples do . Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de através de uma integral de superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido chamado no espaço tridimensional ( ) e queremos calcular o volume desse sólido usando o Teorema do Divergente. Para isso, vamos precisar saber o que é esse teorema e como aplicá-lo para relacionar uma integral de volume com uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele estabelece que para um campo vetorial suficientemente suave definido em um volume com fronteira (a superfície que envolve ), a integral da divergência de sobre o volume é igual à integral de superfície de vezes o vetor normal na superfície. Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, queremos relacionar isso ao cálculo do volume de . Para isso, precisamos escolher um campo vetorial que, quando calcularmos a divergência , nos ajude a expressar o volume. Uma boa escolha é usar o próprio vetor posiç��o .

Passo 4

Vamos calcular a divergência desse vetor posição:
Então, a divergência de é constante e igual a 3.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Divergente com , temos:
Substituindo a divergência que calculamos:

Passo 6

O lado esquerdo da equação representa três vezes o volume de , ou seja, . Então podemos escrever:

Resposta

Isolando o volume , temos a fórmula para calcular o volume de através de uma integral de superfície:

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