Seja
um sólido simples do
. Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de
através de uma integral de superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido chamado
no espaço tridimensional (
) e queremos calcular o volume desse sólido usando o Teorema do Divergente. Para isso, vamos precisar saber o que é esse teorema e como aplicá-lo para relacionar uma integral de volume com uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele estabelece que para um campo vetorial
suficientemente suave definido em um volume
com fronteira
(a superfície que envolve
), a integral da divergência de
sobre o volume é igual à integral de superfície de
vezes o vetor normal
na superfície. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso ao cálculo do volume de
. Para isso, precisamos escolher um campo vetorial
que, quando calcularmos a divergência
, nos ajude a expressar o volume. Uma boa escolha é usar o próprio vetor posiç��o
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência desse vetor posição:
Então, a divergência de
é constante e igual a 3.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Divergente com
, temos:
Substituindo a divergência que calculamos:
Passo 6
O lado esquerdo da equação representa três vezes o volume de
, ou seja,
. Então podemos escrever:
Resposta
Isolando o volume
, temos a fórmula para calcular o volume de
através de uma integral de superfície:
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
, em que
, e
é a curva fronteira da parte do plano
no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima. (Atenção: Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema).
Seja
uma superfície orientada com vetor normal unitário
. Considere um fluido com densidade
e campo de velocidade
escoando através de
. Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de
é dada por
A água do mar tem densidade
e escoa em um campo de velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério
.
Calcule a integral de superfície
, em que
, e
é a superfície fronteira do cilindro
, com normal apontando para fora do cilindro.
Sejam
, e
a superfície fronteira do paralelepípedo
, com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície
.