Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície da função
sobre uma superfície
que está parametrizada por
. Os parâmetros
variam de
a
e
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais de superfície, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a integral de superfície
pode ser transformada em uma integral dupla usando a parametrização da superfície. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
representa o produto vetorial. O
é o módulo desse produto, que nos dá a “área” infinitesimal na superfície.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Dada:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso a
e
:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo do produto vetorial
:
Simplificando:
Como
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Sabendo que
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Podemos usar uma substituição: deixe
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Assim:
Passo 8
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do parabolóide que está acima do plano
, Resp.:
A parte do parabolóide
Resolva o problema de valor inicial.
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
é um número real dado;