Calcule a integral de superfície integralS integral f d S de cada uma das funcções reais f: R^3 R ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
f(x, y, z)=z, r(u, v)=(2 senucos v, 2 senusenv, 2 cos u),(u, v) in[0, pi2] times [0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície da função sobre uma superfície que está parametrizada por . Os parâmetros variam de a e varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais de superfície, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a integral de superfície integral duplaS f , dS = integral duplaD f(r(u, v)) | ru times rv | , du , dv pode ser transformada em uma integral dupla usando a parametrização da superfície. A fórmula geral para isso é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial. O é o módulo desse produto, que nos dá a “área” infinitesimal na superfície.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais r(u, v) = (2 sin u cos v, , 2 sin u sin v, , 2 cos u) e ru = (2 cos u cos v, , 2 cos u sin v, , -2 sin u) .
Dada:
rv = (-2 sin u sin v, , 2 sin u cos v, , 0)
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = (a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1) . O produto vetorial de dois vetores ru times rv = (2 cos u sin v cdot 0 - (-2 sin u) cdot 2 sin u cos v, , (-2 sin u) cdot (-2 sin u sin v) - 2 cos u cos v cdot 0, , 2 cos u cos v cdot 2 sin u cos v - 2 cos u sin v cdot (-2 sin u sin v)) e ru times rv = (4 sin^2 u cos v, , 4 sin^2 u sin v, , 4 cos u sin u cos^2 v + 4 cos u sin u sin^2 v) é dado por:
Aplicando isso a e :
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial | ru times rv | = raiz(4 sin^2 u cos v)^2 + (4 sin^2 u sin v)^2 + (4 cos u sin u (cos^2 v + sin^2 v))^2 :
| ru times rv | = raiz16 sin^4 u cos^2 v + 16 sin^4 u sin^2 v + 16 cos^2 u sin^2 u (cos^2 v + sin^2 v)
Simplificando:
| ru times rv | = raiz16 sin^4 u (cos^2 v + sin^2 v) + 16 cos^2 u sin^2 u = raiz16 sin^4 u + 16 cos^2 u sin^2 u = 4 sin u
Como :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaS f , dS = integral duplaD f(r(u, v)) | ru times rv | , du , dv
Sabendo que integral duplaS f , dS = integral0^2pi integral0^pi2 2 cos u cdot 4 sin u , du , dv = 8 integral0^2pi integral0^pi2 cos u sin u , du , dv e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi2 cos u sin u , du
Podemos usar uma substituição: deixe integral0^1 t , dt = [t^22]0^1 = 12 , então . Quando , ; quando , .
Assim:

Passo 8

Agora, substituímos de volta:
8 integral0^2pi 12 , dv = 4 integral0^2pi dv = 4 cdot 2pi = 8pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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