Calcule a integral de superfície de cada uma das funcções reais ao longo da superfície (de parametrização ) dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície da função sobre uma superfície que está parametrizada por . Os parâmetros variam de a e varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais de superfície, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a integral de superfície pode ser transformada em uma integral dupla usando a parametrização da superfície. A fórmula geral para isso é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial. O é o módulo desse produto, que nos dá a “área” infinitesimal na superfície.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais e .
Dada:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso a e :
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial :
Simplificando:
Como :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral:
Sabendo que e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Podemos usar uma substituição: deixe , então . Quando , ; quando , .
Assim:

Passo 8

Agora, substituímos de volta:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do parabolóide que está acima do plano , Resp.:
Resolva o problema de valor inicial.
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde é um número real dado;