Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do parabolóide que está acima do plano , Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma equação paramétrica para uma parte específica de um parabolóide, que é dado pela equação . A parte que nos interessa é a que está acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies usando coordenadas polares e aplicar um pouco de álgebra para ajustar os limites dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para facilitar a parametrização. Isolando , temos:
Agora, para parametrizar essa superfície, é comum usar coordenadas polares, já que a equação envolve . Vamos definir e em termos de e , onde é a distância radial e o ângulo:

Passo 3

Substituindo e na equação de , temos:
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites para os parâmetros e . Como a parte do parabolóide está acima do plano , vamos igualar a 7 e resolver para :
Isso significa que varia de 0 a 3. Já o ângulo completa uma volta completa, então varia de a .

Passo 5

Com tudo isso, podemos escrever a equação paramétrica da superfície:

Resposta

A equação paramétrica da parte do parabolóide que está acima do plano é:

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Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano que contém o ponto e os vetores diretores e ,
Resp.:
Resolva o problema de valor inicial.
Calcule a integral de superfície de cada uma das funcções reais ao longo da superfície (de parametrização ) dadas.