Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do parabolóide
que está acima do plano
, Resp.:
A parte do parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma equação paramétrica para uma parte específica de um parabolóide, que é dado pela equação
. A parte que nos interessa é a que está acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies usando coordenadas polares e aplicar um pouco de álgebra para ajustar os limites dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para facilitar a parametrização. Isolando
, temos:
Agora, para parametrizar essa superfície, é comum usar coordenadas polares, já que a equação envolve
. Vamos definir
e
em termos de
e
, onde
é a distância radial e
o ângulo:
Passo 3
Substituindo
e
na equação de
, temos:
Simplificando os termos:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para os parâmetros
e
. Como a parte do parabolóide está acima do plano
, vamos igualar
a 7 e resolver para
:
Isso significa que
varia de 0 a 3. Já o ângulo
completa uma volta completa, então varia de
a
.
Passo 5
Com tudo isso, podemos escrever a equação paramétrica da superfície:
Resposta
A equação paramétrica da parte do parabolóide
que está acima do plano
é:
Exercícios relacionados
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano que contém o ponto
e os vetores diretores
e
,
Resp.:
Plano
Resp.:
Resolva o problema de valor inicial.
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.