Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial passo a passo! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais homogêneas e particulares, além de usar condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, considerar apenas:
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar as soluções da equação característica associada. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla
.
Passo 3
Como temos uma raiz dupla
, a solução da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a parte não homogênea da equação:
Vamos dividir isso em duas partes:
e
.
Passo 5
Primeiro, para o termo
, como
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação. Então, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Para o termo constante
, tentamos uma solução particular simples:
Aqui,
é uma constante a ser encontrada.
Passo 7
Agora, combinamos as soluções particulares:
Substituímos
na equação original e resolvemos para
e
.
Passo 8
Após substituir e igualar os coeficientes, encontramos os valores de
e
. Vamos supor que, após os cálculos, encontramos:
Passo 9
Com as constantes encontradas, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Isso nos dá
.
Segundo, derivamos
e aplicamos
para encontrar
.
Resposta
Finalmente, após encontrar
e
, a solução que satisfaz o problema de valor inicial é:
Substituindo os valores das constantes, temos a solução final.
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A parte do parabolóide que está acima do plano
, Resp.:
A parte do parabolóide
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(de parametrização
) dadas.
Resolva o problema de valor inicial.