Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 3, vamos assumir que a solução particular também é um polinômio de grau 3:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos mesmos termos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Agora temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Somamos com a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Resolva o problema de valor inicial.
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
é um número real dado;
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.