Resolva o problema de valor inicial.
y'' - y' - 12y = 144x^3 + 12.5, y(0) = 5, y'(0) = -0.5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 3, vamos assumir que a solução particular também é um polinômio de grau 3:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos mesmos termos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos :
Aplicando :
Agora temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3:
Somamos com a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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