Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde é um número real dado;

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial . Vamos trabalhar com o conteúdo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos olhar para a parte não homogênea da equação, que é . Como essa função é trigonométrica, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular.

Passo 3

No método dos coeficientes a determinar, fazemos um palpite para a forma da solução particular. Como o lado direito é , nossa solução particular vai ser uma combinação de funções seno e cosseno com o mesmo argumento.

Passo 4

Então, propomos que a solução particular seja , onde e são constantes que vamos determinar substituindo de volta na equação original.

Resposta

A forma apropriada de uma solução particular é .

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