Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(x, x, z), r(u, v)=( asenucosv, asenusenv, acosu ), (u, v) in [0, pi] times[0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície que é parametrizada por , onde varia de a e de a . Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente das integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da superfície, calcular os vetores tangentes, o vetor normal, e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, derivamos ru = partial rpartial u = (a cos u cos v, a cos u sin v, -a sin u) em relação a rv = partial rpartial v = (-a sin u sin v, a sin u cos v, 0) e .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses vetores tangentes para obter o vetor normal à superfície:
ru times rv = i & j & k a cos u cos v & a cos u sin v & -a sin u -a sin u sin v & a sin u cos v & 0
Calculando o determinante:
ru times rv = (a^2 sin^2 u cos v, a^2 sin^2 u sin v, a^2 sin u cos u)

Passo 4

A magnitude do vetor normal |ru times rv| = raiz(a^2 sin^2 u cos v)^2 + (a^2 sin^2 u sin v)^2 + (a^2 sin u cos u)^2 é necessária para a integral de superfície:
= a^2 sin u raizsin^2 u (cos^2 v + sin^2 v) + cos^2 u
= a^2 sin u raizsin^2 u + cos^2 u
= a^2 sin u

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral de superfície. A fórmula geral é:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Onde é o domínio dos parâmetros e .

Passo 6

Substituímos F(r(u, v)) = (a sin u cos v, a sin u cos v, a cos u) na integral. A parametrização nos dá , , e . Então:

Passo 7

Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv) = (a sin u cos v)(a^2 sin^2 u cos v) + (a sin u cos v)(a^2 sin^2 u sin v) + (a cos u)(a^2 sin u cos u) :
= a^3 sin^3 u cos^2 v + a^3 sin^3 u cos v sin v + a^3 sin u cos^2 u

Passo 8

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^pi ( a^3 sin^3 u cos^2 v + a^3 sin^3 u cos v sin v + a^3 sin u cos^2 u ) du , dv

Passo 9

Integrando em relação a integral0^2pi cos^2 v , dv = pi primeiro:
integral0^2pi cos v sin v , dv = 0
integral0^2pi dv = 2pi
a^3 sin^3 u cdot pi + 0 + a^3 sin u cos^2 u cdot 2pi = a^3 pi sin^3 u + 2a^3 pi sin u cos^2 u
Então a integral fica:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^pi ( a^3 pi sin^3 u + 2a^3 pi sin u cos^2 u ) du = a^3 pi integral0^pi sin^3 u , du + 2a^3 pi integral0^pi sin u cos^2 u , du :
integral0^pi sin^3 u , du = 43
Sabemos que:
integral0^pi sin u cos^2 u , du = 23

Resposta

Substituindo os valores das integrais:
a^3 pi cdot 43 + 2a^3 pi cdot 23 = 43 a^3 pi + 43 a^3 pi = 83 a^3 pi
Então, a integral de superfície é:
integral duplaS F cdot dS = 83 a^3 pi

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Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(0,0, z), r(u, v)=( asenucosv, asenusenv, acosu ), (u, v) in [0, pi2] times[0, pi2]