Calcule a integral de superfície de cada uma das funcões vetoriais : ao longo da superfície (de parametrização ) dadas. asenucosv, asenusenv, acosu
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície que é parametrizada por , onde varia de a e de a . Isso faz parte do cálculo vetorial, especificamente das integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar usar a parametrização da superfície, calcular os vetores tangentes, o vetor normal, e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, derivamos em relação a e .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses vetores tangentes para obter o vetor normal à superfície:
Calculando o determinante:
ru times rv = (a^2 sin^2 u cos v, a^2 sin^2 u sin v, a^2 sin u cos u)
Passo 4
A magnitude do vetor normal |ru times rv| = raiz(a^2 sin^2 u cos v)^2 + (a^2 sin^2 u sin v)^2 + (a^2 sin u cos u)^2 é necessária para a integral de superfície:
= a^2 sin u raizsin^2 u (cos^2 v + sin^2 v) + cos^2 u
= a^2 sin u raizsin^2 u + cos^2 u
= a^2 sin u
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral de superfície. A fórmula geral é:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Onde é o domínio dos parâmetros e .
Passo 6
Substituímos F(r(u, v)) = (a sin u cos v, a sin u cos v, a cos u) na integral. A parametrização nos dá , , e . Então:
Passo 7
Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv) = (a sin u cos v)(a^2 sin^2 u cos v) + (a sin u cos v)(a^2 sin^2 u sin v) + (a cos u)(a^2 sin u cos u) :
= a^3 sin^3 u cos^2 v + a^3 sin^3 u cos v sin v + a^3 sin u cos^2 u
Passo 8
Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^pi ( a^3 sin^3 u cos^2 v + a^3 sin^3 u cos v sin v + a^3 sin u cos^2 u ) du , dv
Passo 9
Integrando em relação a integral0^2pi cos^2 v , dv = pi primeiro:
integral0^2pi cos v sin v , dv = 0
integral0^2pi dv = 2pi
a^3 sin^3 u cdot pi + 0 + a^3 sin u cos^2 u cdot 2pi = a^3 pi sin^3 u + 2a^3 pi sin u cos^2 u
Então a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos em relação a integral0^pi ( a^3 pi sin^3 u + 2a^3 pi sin u cos^2 u ) du = a^3 pi integral0^pi sin^3 u , du + 2a^3 pi integral0^pi sin u cos^2 u , du :
integral0^pi sin^3 u , du = 43
Sabemos que:
integral0^pi sin u cos^2 u , du = 23
Resposta
Substituindo os valores das integrais:
a^3 pi cdot 43 + 2a^3 pi cdot 23 = 43 a^3 pi + 43 a^3 pi = 83 a^3 pi