Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação que também satisfaça as condições iniciais dadas. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, solução da equação homogênea e encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são:
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo constante do lado direito:
Passo 4
Agora, para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 6
As raízes complexas são dadas por:
Passo 7
Com as raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o termo do lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 9
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 12
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 13
Agora, vamos calcular
para aplicar a segunda condição inicial. Derivando a solução geral:
Simplificando em
:
Passo 14
Com
e
, a solução final é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano que está dentro do cilindro
,
Resp.: .
A parte do plano
Resp.:
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
asenucosv, asenusenv, acosu
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
e
são números reais dados.