Resolva o problema de valor inicial.
y'' + 0,2 y' + 0,26 y = 1,22 e^(0,5 x) y(0) = 3,5, y'(0) = 0,35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação que também satisfaça as condições iniciais dadas. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, solução da equação homogênea e encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo constante do lado direito:

Passo 4

Agora, para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica. Substituímos na equação homogênea:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 6

As raízes complexas são dadas por:

Passo 7

Com as raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 12

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :

Passo 13

Agora, vamos calcular para aplicar a segunda condição inicial. Derivando a solução geral:
Simplificando em :

Passo 14

Com e , a solução final é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' + omega^2 y = cos(omega x), omega pertence a R
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do plano z = 5 que está dentro do cilindro x^2/16 + y^2/9 = 1,
Resp.: r(u, v) = (4 v cos(u), 3 v sen(u), 5), (u, v) in [0, 2 pi] x [0, 1].
Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(x, x, z), r(u, v)=( asenucosv, asenusenv, acosu ), (u, v) in [0, pi] times[0,2 pi]
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
y'' + 4y' + 5y = e^(alpha x) sen(beta x) onde alpha e beta são números reais dados.