Resolva o problema de valor inicial.
y'' + 0,2 y' + 0,26 y = 1,22 e^(0,5 x) y(0) = 3,5, y'(0) = 0,35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação que também satisfaça as condições iniciais dadas. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, solução da equação homogênea e encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo constante do lado direito:

Passo 4

Agora, para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica. Substituímos na equação homogênea:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 6

As raízes complexas são dadas por:

Passo 7

Com as raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 9

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 12

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :

Passo 13

Agora, vamos calcular para aplicar a segunda condição inicial. Derivando a solução geral:
Simplificando em :

Passo 14

Com e , a solução final é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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