Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do cilindro
que está entre os planos
e
, Resp.:
A parte do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma equação paramétrica para uma parte de um cilindro, que é definido pela equação
. Essa parte específica do cilindro está entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente parametrização de superfícies cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro:
. Essa é a equação geral de um cilindro elíptico, onde a base do cilindro é uma elipse com semi-eixos
(porque
) e
(porque
). A variável
não está na equação, o que significa que o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo
. Porém, no nosso caso, ele está limitado entre
e
.
Passo 3
Para parametrizar essa superfície, vamos usar duas variáveis:
e
. A variável
vai variar de
a
para cobrir toda a circunferência da elipse no plano
, e
vai variar de
a
para cobrir a altura do cilindro entre os planos
e
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
,
e
em termos de
e
. Como estamos lidando com uma elipse, usamos funções cosseno e seno ajustadas pelos semi-eixos:
-
-
-
, já que varia de a independentemente de
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, a equação paramétrica que descreve a parte do cilindro entre
e
é:
Resposta
A equação paramétrica solicitada é: