Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do cilindro x^2/16 + y^2/9 = 1 que está entre os planos z = 0 e z = 5, Resp.: r(u, v) = (4 cos(u), 3 sen(u), v), (u, v) ∈ [0, 2pi] x [0, 5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma equação paramétrica para uma parte de um cilindro, que é definido pela equação x^2/16 + y^2/9 = 1. Essa parte específica do cilindro está entre os planos z = 0 e z = 5. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente parametrização de superfícies cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cilindro: x^2/16 + y^2/9 = 1. Essa é a equação geral de um cilindro elíptico, onde a base do cilindro é uma elipse com semi-eixos a = 4 (porque ) e b = 3 (porque ). A variável z não está na equação, o que significa que o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo z. Porém, no nosso caso, ele está limitado entre z = 0 e z = 5.

Passo 3

Para parametrizar essa superfície, vamos usar duas variáveis: u e v. A variável u vai variar de 0 a para cobrir toda a circunferência da elipse no plano xy, e v vai variar de 0 a para cobrir a altura do cilindro entre os planos z = 0 e z = 5.

Passo 4

Agora, vamos expressar x, y e z em termos de u e v. Como estamos lidando com uma elipse, usamos funções cosseno e seno ajustadas pelos semi-eixos:
  • , já que z varia de 0 a independentemente de u

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, a equação paramétrica que descreve a parte do cilindro entre z = 0 e z = 5 é:

Resposta

A equação paramétrica solicitada é:

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