Calcule a integral de superfície de cada uma das funcções reais ao longo da superfície (de parametrização ) dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de superfície juntos! A gente vai calcular a integral da função sobre a superfície que está parametrizada por com variando de a e de a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função se comporta na superfície . Como , substituímos , e na função :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização . Para isso, encontramos os vetores parciais e :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o produto vetorial desses vetores parciais, que nos dá uma normal à superfície:
Passo 5
Calculamos a magnitude desse produto vetorial para obter |ru times rv| = raiz(2 cos u)^2 + (2 sin u)^2 + 0^2 = raiz4 cos^2 u + 4 sin^2 u = raiz4 (cos^2 u + sin^2 u) = raiz4 = 2 , que é o fator de escala para o elemento de área:
Passo 6
Agora, montamos a integral de superfície usando os limites de integral duplaS f , dS = integralv=1^3pi integralu=0^2pi f(r(u, v)) cdot |ru times rv| , du , dv e integral duplaS f , dS = integral1^3pi integral0^2pi 4v sin u cos u cdot 2 , du , dv = 8 integral1^3pi v ( integral0^2pi sin u cos u , du ) dv :
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2pi sin u cos u , du :
integral0^2pi sin u cos u , du = 12 integral0^2pi sin 2u , du = 12 [ -12 cos 2u ]0^2pi = 12 ( -12 (cos 4pi - cos 0) ) = 0
Sabemos que , então:
Passo 8
Como a integral interna resultou em zero, multiplicando pelo que temos na integral externa: