Calcule a integral de superfície integralS integral f d S de cada uma das funcções reais f: R^3 R ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
f(x, y, z)=x y z, r(u, v)=(2 cos u, 2 sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[1,3 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de superfície juntos! A gente vai calcular a integral da função sobre a superfície que está parametrizada por com variando de a e de a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(r(u, v)) = f(2 cos u, 2 sin u, v) = (2 cos u)(2 sin u)(v) = 4v sin u cos u se comporta na superfície . Como , substituímos , e na função :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área ru = partial rpartial u = (-2 sin u, 2 cos u, 0) na parametrização rv = partial rpartial v = (0, 0, 1) . Para isso, encontramos os vetores parciais e :

Passo 4

O próximo passo é encontrar o produto vetorial desses vetores parciais, que nos dá uma normal à superfície:
ru times rv = i & j & k -2 sin u & 2 cos u & 0 0 & 0 & 1 = (2 cos u, 2 sin u, 0)

Passo 5

Calculamos a magnitude desse produto vetorial para obter |ru times rv| = raiz(2 cos u)^2 + (2 sin u)^2 + 0^2 = raiz4 cos^2 u + 4 sin^2 u = raiz4 (cos^2 u + sin^2 u) = raiz4 = 2 , que é o fator de escala para o elemento de área:

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície usando os limites de integral duplaS f , dS = integralv=1^3pi integralu=0^2pi f(r(u, v)) cdot |ru times rv| , du , dv e integral duplaS f , dS = integral1^3pi integral0^2pi 4v sin u cos u cdot 2 , du , dv = 8 integral1^3pi v ( integral0^2pi sin u cos u , du ) dv :
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2pi sin u cos u , du :
integral0^2pi sin u cos u , du = 12 integral0^2pi sin 2u , du = 12 [ -12 cos 2u ]0^2pi = 12 ( -12 (cos 4pi - cos 0) ) = 0
Sabemos que , então:

Passo 8

Como a integral interna resultou em zero, multiplicando pelo que temos na integral externa:
8 integral1^3pi v cdot 0 , dv = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

Exercícios relacionados

Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a > 0 e b = 0, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando x -> infinito. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y'(0) = y1.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide z + x^2 + y^2 = 16 Resp.: r(u, v) = (u cos v, u sen v, -u^2 + 16), (u, v) in [0, infinito] x [0, 2 pi]
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
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Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
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