Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, precisamos:
Encontrar a solução da equação homogênea associada.
Encontrar uma solução particular da equação completa.
Somar essas duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e :
Assim, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
O lado direito é um polinômio de terceiro grau, então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde , , e são coeficientes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de :
Passo 8
Substituímos , e na equação diferencial:
Passo 9
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações:
De , temos:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Substituindo e na quarta equação:
Passo 12
Com os coeficientes encontrados, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: