Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' + y' - 6y = 6x^3 - 3x^2 + 12x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, precisamos:
  • Encontrar a solução da equação homogênea associada.
  • Encontrar uma solução particular da equação completa.
  • Somar essas duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e :
Assim, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
O lado direito é um polinômio de terceiro grau, então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde , , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 9

Expandindo e agrupando os termos semelhantes:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos:
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:
  1. Substituindo e na quarta equação:

Passo 12

Com os coeficientes encontrados, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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