Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide z + x^2 + y^2 = 16 Resp.: r(u, v) = (u cos v, u sen v, -u^2 + 16), (u, v) in [0, infinito] x [0, 2 pi]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície representada pela equação , que é um parabolóide. Nosso objetivo é encontrar uma equação paramétrica para essa superfície. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, onde expressamos , e em termos de dois parâmetros, geralmente e .

Passo 2

Vamos começar isolando na equação dada para facilitar a parametrização:
Agora, precisamos expressar e em termos de dois parâmetros. Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas polares, onde e . Aqui, representa a distância do ponto à origem no plano , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Substituindo essas expressões para e na equação de , temos:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de e :
Assim, a equação paramétrica da superfície fica:

Resposta

A equação paramétrica para o parabolóide é:

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Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a e b são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando x -> infinito.
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a = 0 e b > 0, todas as soluções são limitadas quando x -> infinito.
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a > 0 e b = 0, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando x -> infinito. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y'(0) = y1.
Calcule a integral de superfície integralS integral f d S de cada uma das funcções reais f: R^3 R ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
f(x, y, z)=x y z, r(u, v)=(2 cos u, 2 sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[1,3 pi]