Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide
Resp.:
,
O parabolóide
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície representada pela equação
, que é um parabolóide. Nosso objetivo é encontrar uma equação paramétrica para essa superfície. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, onde expressamos
,
e
em termos de dois parâmetros, geralmente
e
.
Passo 2
Vamos começar isolando
na equação dada para facilitar a parametrização:
Agora, precisamos expressar
e
em termos de dois parâmetros. Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas polares, onde
e
. Aqui,
representa a distância do ponto à origem no plano
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Substituindo essas expressões para
e
na equação de
, temos:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de
e
:
Assim, a equação paramétrica da superfície fica:
Resposta
A equação paramétrica para o parabolóide
é:
Exercícios relacionados
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando
.
Se
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções são limitadas quando
.
Se
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando
. Determine essa constante para as condições iniciais
.
Se
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.