Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a > 0 e b = 0, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando x -> infinito. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y'(0) = y1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
O enunciado pede para mostrar que, quando e , todas as soluções dessa equação se aproximam de uma constante conforme tende para o infinito. Além disso, precisamos determinar essa constante com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, como , nossa equação fica:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação :
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica associada à equação diferencial.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
Onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Segundo, a derivada de :
Aplicando a condição inicial para a derivada em :

Passo 6

Vamos resolver para a partir da segunda condição:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Assim, a solução geral com as constantes determinadas fica:

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando tende para o infinito.
Sabemos que tende para zero quando vai para o infinito, já que . Portanto, o termo que envolve desaparece, deixando apenas:

Resposta

A constante para a qual todas as soluções se aproximam quando é:

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Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
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