Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se
e
, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando
. Determine essa constante para as condições iniciais
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
O enunciado pede para mostrar que, quando
e
, todas as soluções dessa equação se aproximam de uma constante conforme
tende para o infinito. Além disso, precisamos determinar essa constante com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, como
, nossa equação fica:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos assumir que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação
:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica associada à equação diferencial.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Então, as soluções gerais da equação homogênea são:
Onde
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Segundo, a derivada de
:
Aplicando a condição inicial para a derivada em
:
Passo 6
Vamos resolver para
a partir da segunda condição:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Assim, a solução geral com as constantes determinadas fica:
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando
tende para o infinito.
Sabemos que
tende para zero quando
vai para o infinito, já que
. Portanto, o termo que envolve
desaparece, deixando apenas:
Resposta
A constante para a qual todas as soluções se aproximam quando
é:
Exercícios relacionados
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide Resp.:
,
O parabolóide
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando
.
Se
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.