Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
y'' + 3y' + 2y = 30e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas com termos do lado direito que são funções conhecidas, como expoentes, senos ou cossenos. Vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por , por e por 1, resultando em .

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas raízes reais: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 7

Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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