Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares não homogêneas com termos do lado direito que são funções conhecidas, como expoentes, senos ou cossenos. Vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1, resultando em
.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas raízes reais:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, vamos supor uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcções reais
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando
. Determine essa constante para as condições iniciais
.
Se
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.
Resolva a equação diferencial, usando o método dos coeficientes a determinar.