Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
sobre a superfície
parametrizada por , onde
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície usando parametrizações.
O que vamos precisar:
- Entender como parametrizar a superfície.
- Calcular os vetores parciais
e . - Encontrar o vetor normal através do produto vetorial
. - Substituir a parametrização no campo vetorial
. - Calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
parametrizada por .
Interpretação da parametrização:
- As primeiras duas componentes,
e , descrevem um círculo no plano com raio 1. - A terceira componente,
, varia de 0 a , o que nos dá uma cilindro vertical de altura .
Então, estamos lidando com um cilindro circular reto de raio 1 e altura
.
Passo 3
Vamos calcular os vetores parciais
e
.
Esses vetores são tangentes à superfície nas direções das variáveis
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial
.
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Vamos substituir a parametrização no campo vetorial
.
Então,
.
Passo 6
A integral de superfície é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos configurar a integral dupla com os limites dados para
e
:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que
, então:
Segunda integral:
Note que é a derivada de , então:
Avaliado de 0 a
:
Passo 9
Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
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onde
é um número real dado;
Resolva o problema de valor inicial.
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