Calcule a integral de superfície integralS integral F d S de cada uma das funcões vetoriais F : R^3 R^3 ao longo da superfície S (de parametrização r(u, v) ) dadas.
F(x, y, z)=(x, x, z), r(u, v)=(cos u, sen u, v),(u, v) in[0,2 pi] times[0, a pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície para o campo vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície usando parametrizações.
O que vamos precisar:
  1. Entender como parametrizar a superfície.
  2. Calcular os vetores parciais e .
  3. Encontrar o vetor normal através do produto vetorial .
  4. Substituir a parametrização no campo vetorial .
  5. Calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície parametrizada por .
Interpretação da parametrização:
  • As primeiras duas componentes, e , descrevem um círculo no plano com raio 1.
  • A terceira componente, , varia de 0 a , o que nos dá uma cilindro vertical de altura .
Então, estamos lidando com um cilindro circular reto de raio 1 e altura .

Passo 3

Vamos calcular os vetores parciais ru = partial rpartial u = ( -sen u, cos u, 0 ) e rv = partial rpartial v = ( 0, 0, 1 ) .
Esses vetores são tangentes à superfície nas direções das variáveis e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial n = ru times rv = i & j & k -sen u & cos u & 0 0 & 0 & 1 = (cos u cdot 1 - 0 cdot 0)i - (-sen u cdot 1 - 0 cdot 0)j + (-sen u cdot 0 - cos u cdot 0)k = (cos u, sen u, 0) .
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Vamos substituir a parametrização no campo vetorial F(r(u, v)) = F(cos u, sen u, v) = (cos u, cos u, v) .
Então, .

Passo 6

A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u,v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Substituindo F cdot n = (cos u, cos u, v) cdot (cos u, sen u, 0) = cos^2 u + cos u cdot sen u + 0 = cos^2 u + cos u sen u e :

Passo 7

Agora, vamos configurar a integral dupla com os limites dados para integral duplaS F cdot dS = integral0^api integral0^2pi ( cos^2 u + cos u sen u ) du , dv e integral0^api ( integral0^2pi cos^2 u , du + integral0^2pi cos u sen u , du ) dv :
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi cos^2 u , du
Sabemos que integral0^2pi 1 + cos 2u2 , du = 12 integral0^2pi 1 , du + 12 integral0^2pi cos 2u , du = 12 (2pi) + 12 (0) = pi , então:
integral0^2pi cos u sen u , du
Segunda integral:
Note que é a derivada de , então:
Avaliado de 0 a integral cos u sen u , du = sen^2 u2 + C :

Passo 9

Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original:
integral duplaS F cdot dS = integral0^api (pi + 0) , dv = pi integral0^api dv = pi [v]0^api = pi (api - 0) = api^2

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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