Calcule a integral de superfície de cada uma das funcões vetoriais : ao longo da superfície (de parametrização ) dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície para o campo vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície usando parametrizações.
O que vamos precisar:
  1. Entender como parametrizar a superfície.
  2. Calcular os vetores parciais e .
  3. Encontrar o vetor normal através do produto vetorial .
  4. Substituir a parametrização no campo vetorial .
  5. Calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície parametrizada por .
Interpretação da parametrização:
  • As primeiras duas componentes, e , descrevem um círculo no plano com raio 1.
  • A terceira componente, , varia de 0 a , o que nos dá uma cilindro vertical de altura .
Então, estamos lidando com um cilindro circular reto de raio 1 e altura .

Passo 3

Vamos calcular os vetores parciais e .
Esses vetores são tangentes à superfície nas direções das variáveis e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial .
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Vamos substituir a parametrização no campo vetorial .
Então, .

Passo 6

A integral de superfície é dada por:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos configurar a integral dupla com os limites dados para e :
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que , então:
Segunda integral:
Note que é a derivada de , então:
Avaliado de 0 a :

Passo 9

Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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onde é um número real dado;
Resolva o problema de valor inicial.
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