Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde é um número real dado;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como exponenciais, polinômios, senos e cossenos. Vamos precisar lembrar como assumir uma forma para a solução particular e ajustar os coeficientes para que ela satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de termo que está no lado direito da equação, que é . Quando temos um termo exponencial como esse, geralmente assumimos que a solução particular também será uma função exponencial da mesma forma. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma , onde é uma constante que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar e , que são as primeiras e segundas derivadas de . Isso porque precisamos substituir essas derivadas na equação original.

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação substituída:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos:
Resolvendo para :

Resposta

A solução particular da equação é .

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