Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
é um número real dado;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como exponenciais, polinômios, senos e cossenos. Vamos precisar lembrar como assumir uma forma para a solução particular e ajustar os coeficientes para que ela satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de termo que está no lado direito da equação, que é
. Quando temos um termo exponencial como esse, geralmente assumimos que a solução particular também será uma função exponencial da mesma forma. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma
, onde
é uma constante que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
, que são as primeiras e segundas derivadas de
. Isso porque precisamos substituir essas derivadas na equação original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação substituída:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular da equação é
.
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Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Esfera de centro
e raio
,
Resp.: , mas existem várias
Esfera
Resp.:
Considere a equação
, onde
são números reais positivos e
é um número real arbitrário. Mostre que toda solução dessa equação tende a
quando
tende a
.