Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares e gerais. Precisaremos entender a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente monta a chamada equação característica substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais mais pra frente.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular
seja da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes de
e constantes:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos com
e os termos constantes:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 9
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Passo 11
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 12
Finalmente, substituindo
e
na solução geral:
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
de cada uma das funcões vetoriais
:
ao longo da superfície
(de parametrização
) dadas.
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
é um número real dado;
Escreva a forma apropriada de uma solução particular da equação dada:
onde
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Esfera de centro
e raio
,
Resp.: , mas existem várias
Esfera
Resp.: