Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares e gerais. Precisaremos entender a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente monta a chamada equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais mais pra frente.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes de e constantes:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos com e os termos constantes:
Para o termo :
Para o termo constante:

Passo 8

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Passo 9

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, calculamos :
Então:
Agora, calculamos :
Simplificando:
Calculando :
Então:

Passo 11

Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 12

Finalmente, substituindo e na solução geral:

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é:

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