Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial . , onde .
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície dada, onde a superfície é definida pela função vetorial , com e . O conteúdo que vamos utilizar envolve cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar a expressão para , a área infinitesimal da superfície, e substituir as coordenadas , e em termos de e na função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função vetorial nos dá as coordenadas em termos de e . Então, temos:
Isso nos permite expressar qualquer ponto na superfície em função de e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área . Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial dos derivativos parciais de em relação a e :
Vamos calcular partial rpartial u e partial rpartial v.
Passo 4
Calculando os derivativos parciais:
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:
Fatoramos | partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz (-2u^2 cos v)^2 + (-2u^2 sen v)^2 + (u)^2 dentro da raiz:
Passo 7
Agora, temos o elemento de área:
dS = u raiz4u^2 + 1, du, dv
Vamos substituir isso na integral de superfície:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Observamos que integral duplasigma 1raiz1 + 4x^2 + 4y^2 dS = integral0^pi integral0^sen v 1raiz1 + 4(u cos v)^2 + 4(u sen v)^2 cdot u raiz4u^2 + 1, du, dv , então a integral simplifica para:
Passo 8
Vamos calcular a integral interna em relação a u:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Sabemos que , então:
integral0^sen v u, du = [ u^22 ]0^sen v = (sen v)^22