Calcule a integral de superfície, onde sigma é representada pela função vetorial r(u, v).
integral duplasigma^sigma 1raiz1+4 x^2+4 y^2 d S, onde r(u, v)=u cos v i+u sen v j+u^2 k(0 <= u <= sen v, 0 <= v <= pi).

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície dada, onde a superfície sigma é definida pela função vetorial , com e r(u, v) = u cos v, i + u sen v, j + u^2, k. O conteúdo que vamos utilizar envolve cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar a expressão para 0 <= u <= sen v, a área infinitesimal da superfície, e substituir as coordenadas 0 <= v <= pi, dS e x em termos de y e z na função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função vetorial r(u, v) nos dá as coordenadas (x, y, z) em termos de u e v. Então, temos:
Isso nos permite expressar qualquer ponto na superfície x = u cos v, y = u sen v, z = u^2 em função de sigma e u.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área dS. Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial dos derivativos parciais de r em relação a u e v:
dS = | partial rpartial u times partial rpartial v | du, dv
Vamos calcular partial rpartial u e partial rpartial v.

Passo 4

Calculando os derivativos parciais:
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:
Fatoramos | partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz (-2u^2 cos v)^2 + (-2u^2 sen v)^2 + (u)^2 dentro da raiz:

Passo 7

Agora, temos o elemento de área:
dS = u raiz4u^2 + 1, du, dv
Vamos substituir isso na integral de superfície:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Observamos que integral duplasigma 1raiz1 + 4x^2 + 4y^2 dS = integral0^pi integral0^sen v 1raiz1 + 4(u cos v)^2 + 4(u sen v)^2 cdot u raiz4u^2 + 1, du, dv , então a integral simplifica para:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em relação a u:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Sabemos que , então:
integral0^sen v u, du = [ u^22 ]0^sen v = (sen v)^22

Passo 9

Calculando a integral:
Avaliar os limites:

Resposta

A integral de superfície vale pi4.

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