Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial . , onde .
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície dada, onde a superfície é definida pela função vetorial , com e . O conteúdo que vamos utilizar envolve cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar a expressão para , a área infinitesimal da superfície, e substituir as coordenadas , e em termos de e na função a ser integrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função vetorial nos dá as coordenadas em termos de e . Então, temos:
Isso nos permite expressar qualquer ponto na superfície em função de e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área . Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial dos derivativos parciais de em relação a e :
Vamos calcular e .
Passo 4
Calculando os derivativos parciais:
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:
Fatoramos dentro da raiz:
Passo 7
Agora, temos o elemento de área:
Vamos substituir isso na integral de superfície:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Observamos que , então a integral simplifica para: