Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície dada, onde a superfície é definida pela função vetorial , com e . O conteúdo que vamos utilizar envolve cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos encontrar a expressão para , a área infinitesimal da superfície, e substituir as coordenadas , e em termos de e na função a ser integrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A função vetorial nos dá as coordenadas em termos de e . Então, temos:
Isso nos permite expressar qualquer ponto na superfície em função de e .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área . Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial dos derivativos parciais de em relação a e :
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando os derivativos parciais:
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:
Fatoramos dentro da raiz:

Passo 7

Agora, temos o elemento de área:
Vamos substituir isso na integral de superfície:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Observamos que , então a integral simplifica para:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Sabemos que , então:

Passo 9

Calculando a integral:
Avaliar os limites:

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do cone entre os planos .
Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de através da superfície com orientação para fora.
, onde é a superfície do sólido limitado por e .
Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .
Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja , onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .