Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva. e é a porção do cone entre os planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone entre os planos e . Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície para determinar o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
onde é o vetor normal à superfície .
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial é e a superfície é o cone entre e .
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície . Como estamos lidando com um cone, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, usamos porque implica .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Em coordenadas paramétricas, o vetor normal pode ser obtido através do produto vetorial dos vetores tangentes à superfície.
Primeiro, calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é então:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Como , mas para simplificar, podemos integrar diretamente.
Passo 7
A integral de superfície fica então:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em :
Passo 9
Agora, integramos em :
Sabemos que:
Então:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície na orientação positiva é .