Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do cone entre os planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone entre os planos e . Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície para determinar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é e a superfície é o cone entre e .

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície . Como estamos lidando com um cone, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, usamos porque implica .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Em coordenadas paramétricas, o vetor normal pode ser obtido através do produto vetorial dos vetores tangentes à superfície.
Primeiro, calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é então:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Como , mas para simplificar, podemos integrar diretamente.

Passo 7

A integral de superfície fica então:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 9

Agora, integramos em :
Sabemos que:
Então:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície na orientação positiva é .

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, onde é a superfície do sólido limitado por e .
Verifique a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
, onde é o hemisfério superior .
Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .
Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .