Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de através da superfície com orientação para fora.
, onde é a superfície do sólido limitado por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície . Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Campo Vetorial:
  • Superfície : É o sólido limitado por , e
Para aplicar o Teorema da Divergência, vamos precisar calcular a divergência de e integrar sobre o volume delimitado por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Vamos derivar cada componente:
  • Em relação a :
  • Em relação a :
  • Em relação a :
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o volume delimitado pela superfície . A descrição nos diz que é limitada por:
  • Um cilindro de raio :
  • Entre as bases e
Então, é um cilindro circular de altura e raio .

Passo 4

Com a divergência calculada e o volume identificado, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Substituindo a divergência:
Agora, vamos calcular o volume de um cilindro:

Passo 5

Finalmente, substituímos o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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, onde é o hemisfério superior .
Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do parabolóide .
Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do cone entre os planos .
Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .