Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
, onde
é a superfície do sólido limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Primeiro, vamos entender o que temos:
- Campo Vetorial:
- Superfície
: É o sólido limitado por , e
Para aplicar o Teorema da Divergência, vamos precisar calcular a divergência de
e integrar sobre o volume delimitado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Vamos derivar cada componente:
-
Em relação a
: -
Em relação a
: -
Em relação a
:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o volume
delimitado pela superfície
. A descrição nos diz que
é limitada por:
- Um cilindro de raio
: - Entre as bases
e
Então,
é um cilindro circular de altura
e raio
.
Passo 4
Com a divergência calculada e o volume identificado, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Substituindo a divergência:
Agora, vamos calcular o volume de um cilindro:
Passo 5
Finalmente, substituímos o volume na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Verifique a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
, onde
é o hemisfério superior
.
Encontre o fluxo do campo vetorial
através de
na direção da orientação positiva.
e
é a porção do parabolóide
.
Encontre o fluxo do campo vetorial
através de
na direção da orientação positiva.
e
é a porção do cone
entre os planos
.
Calcule a integral de superfície, onde
é representada pela função vetorial
.
, onde
.