Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de F através da superfície sigma com orientação para fora.
F(x, y, z) = (x - z)i + (y - x)j + (z - y)k, onde sigma é a superfície do sólido limitado por x^2 + y^2 = a^2, z = 1 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo do campo vetorial F através da superfície sigma. Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Campo Vetorial:
  • Superfície sigma: É o sólido limitado por , e
Para aplicar o Teorema da Divergência, vamos precisar calcular a divergência de F e integrar sobre o volume delimitado por sigma.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
Vamos derivar cada componente:
  • Em relação a x:
  • Em relação a y:
  • Em relação a z:
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o volume V delimitado pela superfície sigma. A descrição nos diz que sigma é limitada por:
  • Um cilindro de raio a:
  • Entre as bases e
Então, V é um cilindro circular de altura 1 e raio a.

Passo 4

Com a divergência calculada e o volume identificado, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Substituindo a divergência:
Agora, vamos calcular o volume de um cilindro:

Passo 5

Finalmente, substituímos o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo de F através da superfície sigma é .

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