Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja F(x, y, z) = x i + y j + z k, onde sigma é a superfície do cubo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema da Divergência usando um campo vetorial específico e um cubo como superfície. O Teorema da Divergência conecta a integral de fluxo em uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo dentro da região. Para resolver, vamos calcular:
  1. A integral de superfície do campo sobre o cubo.
  2. A integral tripla da divergência de F dentro do cubo.
Vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e tripla, além de saber como encontrar a divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a divergência do campo F. A divergência é dada por:
Para o nosso campo, , , e . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência dentro do cubo. Como a divergência é constante (3), a integral tripla fica:
O volume do cubo com lados de comprimento 1 é:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície do campo F sobre o cubo. O cubo tem 6 faces, cada uma perpendicular a um dos eixos coordenados. Vamos calcular o fluxo em cada face e somar.
  1. Face x = 1:
    • Normal
    • Área da face = 1 (já que y e z vão de 0 a 1)
    • Fluxo =
  2. Face x = 0:
    • Normal
    • Fluxo =
  3. Face y = 1:
    • Normal
    • Fluxo =
  4. Face y = 0:
    • Normal
    • Fluxo =
  5. Face z = 1:
    • Normal
    • Fluxo =
  6. Face z = 0:
    • Normal
    • Fluxo =
Somando todos os fluxos:

Resposta

A integral de superfície de F sobre o cubo é igual à integral tripla da divergência de F dentro do cubo, ambos valendo 3. Assim, o Teorema da Divergência é verificado para esse caso.

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