Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja
, onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema da Divergência usando um campo vetorial específico e um cubo como superfície. O Teorema da Divergência conecta a integral de fluxo em uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo dentro da região. Para resolver, vamos calcular:
- A integral de superfície do campo
sobre o cubo. - A integral tripla da divergência de
dentro do cubo.
Vamos precisar entender como calcular integrais de superfície e tripla, além de saber como encontrar a divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo,
,
, e
. Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência dentro do cubo. Como a divergência é constante (3), a integral tripla fica:
O volume do cubo com lados de comprimento 1 é:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície do campo
sobre o cubo. O cubo tem 6 faces, cada uma perpendicular a um dos eixos coordenados. Vamos calcular o fluxo em cada face e somar.
-
Face
: - Normal
-
- Área da face = 1 (já que
e vão de 0 a 1) - Fluxo =
- Normal
-
Face
: - Normal
-
- Fluxo =
- Normal
-
Face
: - Normal
-
- Fluxo =
- Normal
-
Face
: - Normal
-
- Fluxo =
- Normal
-
Face
: - Normal
-
- Fluxo =
- Normal
-
Face
: - Normal
-
- Fluxo =
- Normal
Somando todos os fluxos:
Resposta
A integral de superfície de
sobre o cubo é igual à integral tripla da divergência de
dentro do cubo, ambos valendo 3. Assim, o Teorema da Divergência é verificado para esse caso.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície, onde
é representada pela função vetorial
.
, onde
.
Calcule a integral de superfície, onde
é representada pela função vetorial
.
, onde
.
Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
, onde
é a superfície do sólido compreendido por
.
Calcule
, onde
e
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
. Oriente
no sentido anti-horário quando observado de cima.