Calcule a integral de superfície, onde sigma é representada pela função vetorial r(u, v).
integral duplasigma x y z d S, onde r(u, v)=u cos v i+u sen v j+3 u k(1 <= u <= 2,0 <= v <= pi2).

Passo 1

Vamos calcular uma integral de superfície! O exercício nos pede para encontrar a integral de sobre uma superfície definida pela função vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, que envolvem parametrização da superfície, cálculo do diferencial de área e substituição das variáveis na função que queremos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície r(u, v) = u cos v , i + u sin v , j + 3u , k, 1 <= u <= 2, , 0 <= v <= pi2 :
Aqui, e são os parâmetros que variam dentro dos limites dados.

Passo 3

A função que queremos integrar é x = u cos v, y = u sin v, z = 3u . Vamos expressar essa função em termos dos parâmetros f(u, v) = (u cos v)(u sin v)(3u) = 3u^3 cos v sin v e :
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o diferencial de área ru = partial rpartial u = cos v , i + sin v , j + 3 , k . Para isso, encontramos as derivadas parciais de rv = partial rpartial v = -u sin v , i + u cos v , j em relação a dS = | ru times rv | du dv e ru times rv = i & j & k cos v & sin v & 3 - u sin v & u cos v & 0 = -3u cos v , i - 3u sin v , j + u , k :
| ru times rv | = raiz(-3u cos v)^2 + (-3u sin v)^2 + u^2 = raiz9u^2 (cos^2 v + sin^2 v) + u^2 = raiz10 , u
O diferencial de área é dado pelo módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Calculando o módulo:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplasigma x y z , dS = integral1^2 integral0^pi2 3u^3 cos v sin v cdot raiz10 , u , dv du = 3raiz10 integral1^2 u^4 ( integral0^pi2 cos v sin v , dv ) du
Calculando a integral interna em integral0^pi2 cos v sin v , dv = 12 sin^2 v |0^pi2 = 12(1 - 0) = 12 :
3raiz10 cdot 12 integral1^2 u^4 , du = 3raiz102 ( u^55 |1^2 ) = 3raiz102 ( 325 - 15 ) = 3raiz102 cdot 315 = 93raiz1010
Substituindo de volta:

Resposta

93,raiz1010

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