Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .

Passo 1

Vamos calcular uma integral de superfície! O exercício nos pede para encontrar a integral de sobre uma superfície definida pela função vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, que envolvem parametrização da superfície, cálculo do diferencial de área e substituição das variáveis na função que queremos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície :
Aqui, e são os parâmetros que variam dentro dos limites dados.

Passo 3

A função que queremos integrar é . Vamos expressar essa função em termos dos parâmetros e :
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o diferencial de área . Para isso, encontramos as derivadas parciais de em relação a e :
O diferencial de área é dado pelo módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Calculando o módulo:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Calculando a integral interna em :
Substituindo de volta:

Resposta

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Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .
Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do cone entre os planos .
Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja , onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de através da superfície com orientação para fora.
, onde é a superfície do sólido compreendido por .