Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial . , onde .
Passo 1
Vamos calcular uma integral de superfície! O exercício nos pede para encontrar a integral de sobre uma superfície definida pela função vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, que envolvem parametrização da superfície, cálculo do diferencial de área e substituição das variáveis na função que queremos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície :
Aqui, e são os parâmetros que variam dentro dos limites dados.
Passo 3
A função que queremos integrar é . Vamos expressar essa função em termos dos parâmetros e :
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o diferencial de área . Para isso, encontramos as derivadas parciais de em relação a e :
O diferencial de área é dado pelo módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Calculando o módulo:
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplasigma x y z , dS = integral1^2 integral0^pi2 3u^3 cos v sin v cdot raiz10 , u , dv du = 3raiz10 integral1^2 u^4 ( integral0^pi2 cos v sin v , dv ) du
Calculando a integral interna em integral0^pi2 cos v sin v , dv = 12 sin^2 v |0^pi2 = 12(1 - 0) = 12 :