Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de através da superfície com orientação para fora.
, onde é a superfície do sólido compreendido por .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisamos encontrar o fluxo desse campo através de uma superfície . A superfície é definida pelo sólido limitado pelo cone e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo através da superfície com uma integral de volume. Vamos precisar entender o teorema, calcular a divergência de e configurar a integral correta.

Passo 2

Primeiro, o Teorema da Divergência diz que o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume dentro de . Matematicamente, isso é:
Então, nosso objetivo é calcular e depois fazer a integral sobre o volume definido pelo cone e pelo plano.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de :
Agora temos a expressão para a divergência que vamos integrar.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas , onde , e . Nesse sistema, o volume está entre o cone e o plano , com variando de 0 a 1 e de 0 a .
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
Mas, quando a gente integra termos como e de a , esses vão dar zero porque são funções ímpares em . Portanto, sobra só .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla:
Aqui, vem do fator jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

Exercícios relacionados

Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja , onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Calcule a integral de superfície, onde é representada pela função vetorial .
, onde .
Calcule , onde e é a curva da interseção do plano com o cilindro . Oriente no sentido anti-horário quando observado de cima.
Determine se a série convergente ou divergente.
h)