Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de F através da superfície sigma com orientação para fora.
F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k, onde sigma é a superfície do sólido compreendido por z = raiz(x^2 + y^2) e z = 1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisamos encontrar o fluxo desse campo através de uma superfície . A superfície é definida pelo sólido limitado pelo cone e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo através da superfície com uma integral de volume. Vamos precisar entender o teorema, calcular a divergência de e configurar a integral correta.

Passo 2

Primeiro, o Teorema da Divergência diz que o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume dentro de . Matematicamente, isso é:
Então, nosso objetivo é calcular e depois fazer a integral sobre o volume definido pelo cone e pelo plano.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de :
Agora temos a expressão para a divergência que vamos integrar.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas , onde , e . Nesse sistema, o volume está entre o cone e o plano , com variando de 0 a 1 e de 0 a .
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
Mas, quando a gente integra termos como e de a , esses vão dar zero porque são funções ímpares em . Portanto, sobra só .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla:
Aqui, vem do fator jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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