Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
, onde
é a superfície do sólido compreendido por
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e precisamos encontrar o fluxo desse campo através de uma superfície
. A superfície
é definida pelo sólido limitado pelo cone
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo através da superfície com uma integral de volume. Vamos precisar entender o teorema, calcular a divergência de
e configurar a integral correta.
Passo 2
Primeiro, o Teorema da Divergência diz que o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
dentro de
. Matematicamente, isso é:
Então, nosso objetivo é calcular
e depois fazer a integral sobre o volume definido pelo cone e pelo plano.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
:
Agora temos a expressão para a divergência que vamos integrar.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas
, onde
,
e
. Nesse sistema, o volume
está entre o cone
e o plano
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a
.
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
Mas, quando a gente integra termos como
e
de
a
, esses vão dar zero porque são funções ímpares em
. Portanto, sobra só
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla:
Aqui,
vem do fator jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja
, onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Calcule a integral de superfície, onde
é representada pela função vetorial
.
, onde
.
Calcule
, onde
e
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
. Oriente
no sentido anti-horário quando observado de cima.
Determine se a série convergente ou divergente.
h)
h)