Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual
. O valor
, do investimento em qualquer tempo
depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
vezes o valor atual do investimento
. Assim, a
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos,
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
na conta em qualquer tempo
.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre como o dinheiro cresce num fundo de investimento que paga juros contínuos. A gente quer descobrir quanto dinheiro teremos após um certo tempo, usando uma equação que relaciona a taxa de juros e o valor atual do investimento. Para isso, vamos usar equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como algo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, a equação que descreve como o valor do investimento muda com o tempo é dada por:
Aqui,
representa a taxa de variação do valor do investimento
em relação ao tempo
, e
é a taxa de juros anual.
Passo 3
Essa equação é uma equação diferencial de primeira ordem e é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para resolver. Vamos fazer isso:
Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
No lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplifica para
, e no lado direito, a integral de
em relação a
é
mais uma constante de integração
.
Então, temos:
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Como
representa um valor de investimento e é positivo, podemos remover as barras de valor absoluto:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais substituindo
por uma nova constante
(que representa o valor inicial do investimento):
Resposta
A solução para o valor do investimento em qualquer tempo
é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
d) ;
d)
Calcule a integral
a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por na solução para a parte (a).
I) ;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)
Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
Onde:
T: temperatura do corpo no instante
: temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
T: temperatura do corpo no instante
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Problema 1
Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante
. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é
. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado
tenha se mantido mais ou menos constante
. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de
. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Problema 2
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de
e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de
a
, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para
?