Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto (1,1). Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada, que nos ajuda a determinar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Matematicamente, a derivada de em relação a usando a definição de limite é:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, identificamos e queremos encontrar , que é a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 4

Calculando :
Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando a expressão:
Multiplicando o numerador e denominador por para racionalizar:
Cancelando :
Quando tende a 0, tende a :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto (1,1), podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é:

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Dado que a reta tangente a no ponto passa pelo ponto , ache .
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite: