Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto (1,1). Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada, que nos ajuda a determinar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Matematicamente, a derivada de
em relação a
usando a definição de limite é:
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, identificamos
e queremos encontrar
, que é a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 4
Calculando
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando a expressão:
Multiplicando o numerador e denominador por
para racionalizar:
Cancelando
:
Quando
tende a 0,
tende a
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Com a inclinação
e sabendo que a reta passa pelo ponto (1,1), podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é:
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Dado que a reta tangente a
no ponto
passa pelo ponto
, ache
.
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite: