Calcule a integral. integral t sen^2 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes e o uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então, substituímos na integral:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral t , dt - integral t cos(2t) , dt )
A primeira integral é direta, enquanto a segunda requer integração por partes.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral t , dt = t^22 + C
Mas vamos deixar a constante de integração para o final.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a integração por partes na segunda integral integral u , dv = uv - integral v , du . A fórmula de integração por partes é:
u = t Rightarrow du = dt
Escolhemos:
dv = cos(2t) , dt Rightarrow v = sen(2t)2

Passo 6

Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:

Resposta

A integral é igual a:

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