integral0^1 d xraiz3 x^2+2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral definida . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais que têm expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para resolver isso, vamos usar uma substituição trigonométrica que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da raiz: . Isso é uma expressão quadrática do tipo . Para facilitar a integração, vamos usar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples para integrar.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição trigonométrica:
x = raiz23 tantheta
Com isso, precisamos encontrar dx = raiz23 sec^2theta , dtheta em termos de :

Passo 4

Agora, vamos substituir raiz3x^2 + 2 = raiz3 ( 23 tan^2theta ) + 2 = raiz2 tan^2theta + 2 = raiz2 (tan^2theta + 1) = raiz2 sec^2theta = raiz2 sectheta e integral dxraiz3x^2 + 2 = integral raiz23 sec^2theta , dtheta raiz2 sectheta = 1raiz3 integral sectheta , dtheta na integral original:
Substituindo na integral:

Passo 5

Sabemos que a integral de integral sectheta , dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C é:
1raiz3 integral sectheta , dtheta = 1raiz3 ln|sectheta + tantheta| + C
Então, temos:
x = raiz23 tantheta implies tantheta = x raiz32
Agora, precisamos voltar para a variável sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + 3x^22 = raiz3x^2 + 2raiz2 . Lembrando que:
E:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
1raiz3 ln( raiz3x^2 + 2raiz2 + x raiz32 ) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
1raiz3 ln( raiz3x^2 + 2raiz2 + x raiz32 ) |0^1
Calculando nos limites:
Para 1raiz3 ln( raiz5raiz2 + raiz32 ) :
1raiz3 ln( raiz2raiz2 ) = 1raiz3 ln1 = 0
Para :

Resposta

A integral vale .

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