Um sistema de partículas é composto por 4 partículas pontuais, de massas m1=m2=0.1 kg e m3=m4=0.05 kg. Em um instante inicial, verifica-se que as posições (medidas em metros) das
partículas são r1=(1,0,-1), r2=(0,0,-2), r3=(-1,0,1) e r4=(1,2,0), sendo suas velocidades (medidas em metros por segundo) nesse instante iguais a v1=(2,-1,0), v2=(1,0,-1), v3= (0,0,-3) e v4=(-3,-2,2). Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver as questões abaixo:
a) Determine a posição do CM do sistema no instante inicial.
b) Supondo a ausência de forças, encontre a posição do CM em t=3 s.
c) Se as posições das partículas 2,3 e 4 no instante t=5 s são r2=(1,-1,0), r3=(0,2,-4) e r4= (1,2,0), e suas velocidades são v2=(3,-5,6), v3=(-1,0,-3) e v4=(-2,3,4), respectivamente, encontre a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Centro de Massa (CM) de um sistema de partículas. A matéria que vamos usar aqui é a de mecânica clássica, mais especificamente a parte que fala sobre o centro de massa. Para isso, vamos precisar saber as massas das partículas, suas posições e velocidades. Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito:
a) Encontrar a posição do CM no instante inicial.
b) Descobrir onde está o CM depois de 3 segundos, sem forças agindo.
c) Com algumas posições e velocidades dadas no tempo segundos, descobrir a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Determinar a posição do CM do sistema no instante inicial.
Primeiro, o que é o Centro de Massa? O CM é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas do sistema, levando em conta suas massas. A fórmula para calcular a posição do CM ( RCM = 1M sumi=1^n mi ri ) é:
onde é a massa total do sistema, são as massas das partículas e são as posições das partículas.
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Calculando a Massa Total ( M = m1 + m2 + m3 + m4 = 0.1 + 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.3 , kg ):
Temos 4 partículas:
  • Partículas 1 e 2:
  • Partículas 3 e 4:
Calculando :

Passo 4

Calculando a Soma das Massas vezes as Posições:
As posições iniciais são:
  • m1 r1 = 0.1 times (1, 0, -1) = (0.1, 0, -0.1)
  • m2 r2 = 0.1 times (0, 0, -2) = (0, 0, -0.2)
  • m3 r3 = 0.05 times (-1, 0, 1) = (-0.05, 0, 0.05)
  • m4 r4 = 0.05 times (1, 2, 0) = (0.05, 0.1, 0)
Multiplicando cada posição pela sua massa:
sum mi ri = (0.1 + 0 - 0.05 + 0.05, , 0 + 0 + 0 + 0.1, , -0.1 -0.2 +0.05 +0) = (0.1, 0.1, -0.25)
Agora, somamos todas essas contribuições:

Passo 5

Calculando a Posição do CM:
Agora, usamos a fórmula do CM:
RCM = 1M sum mi ri = 10.3 times (0.1, 0.1, -0.25) approx (0.333, 0.333, -0.833) , m

Passo 6

Agora passamos para a parte b): Supondo a ausência de forças, encontrar a posição do CM em RCM(t) = RCM(0) + VCM times t segundos.
Quando não há forças agindo no sistema, o Centro de Massa se move com velocidade constante, de acordo com a primeira lei de Newton (inércia). Isso significa que a posição do CM no tempo pode ser calculada usando:
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do CM ( ).

Passo 7

Calculando a Velocidade do CM ( VCM = 1M sum mi vi ):
A velocidade do CM é a média ponderada das velocidades das partículas:
m1 v1 = 0.1 times (2, -1, 0) = (0.2, -0.1, 0)
As velocidades iniciais são:
  • m2 v2 = 0.1 times (1, 0, -1) = (0.1, 0, -0.1)
  • m3 v3 = 0.05 times (0, 0, -3) = (0, 0, -0.15)
  • m4 v4 = 0.05 times (-3, -2, 2) = (-0.15, -0.1, 0.1)
  • sum mi vi = (0.2 + 0.1 + 0 -0.15, , -0.1 +0 +0 -0.1, , 0 -0.1 -0.15 +0.1) = (0.15, -0.2, -0.15)
Multiplicando cada velocidade pela sua massa:
VCM = 10.3 times (0.15, -0.2, -0.15) = (0.5, -0.6667, -0.5) , m/s
Somando todas essas contribuições:
Agora, calculamos :

Passo 8

Calculando a Posição do CM em RCM(3) = RCM(0) + VCM times 3 segundos:
Usando a fórmula mencionada:
RCM(3) = (0.333, 0.333, -0.833) + (0.5 times 3, -0.6667 times 3, -0.5 times 3) = (0.333 + 1.5, 0.333 - 2, -0.833 -1.5) = (1.833, -1.667, -2.333) , m
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, vamos para a parte c): Encontrar a posição e velocidade da partícula 1 no instante segundos.
Aqui, são dadas as posições e velocidades das partículas 2, 3 e 4 nesse instante. Precisamos usar a conservação do centro de massa para descobrir as informações da partícula 1.

Passo 10

Primeiro, vamos calcular a posição do CM em RCM(5) = RCM(0) + VCM times 5 segundos:
Novamente, como não há forças agindo, o CM continua se movendo com velocidade constante:
RCM(5) = (0.333, 0.333, -0.833) + (0.5 times 5, -0.6667 times 5, -0.5 times 5) = (0.333 + 2.5, 0.333 - 3.3335, -0.833 -2.5) = (2.833, -3.0, -3.333) , m
Usando os valores que já calculamos:

Passo 11

Agora, vamos usar a posição do CM para encontrar a posição da partícula 1:
Sabemos que:
RCM = 1M ( m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 + m4 r4 )
Queremos encontrar m1 r1 = M RCM - (m2 r2 + m3 r3 + m4 r4) , então rearranjamos a equação:
m1 r1 = 0.3 times (2.833, -3.0, -3.333) - [0.1 times (1, -1, 0) + 0.05 times (0, 2, -4) + 0.05 times (1, 2, 0)]
Substituindo os valores:
0.3 times (2.833, -3.0, -3.333) = (0.85, -0.9, -1.0)
Calculando cada parte:
0.1 times (1, -1, 0) = (0.1, -0.1, 0)
0.05 times (0, 2, -4) = (0, 0.1, -0.2)
0.05 times (1, 2, 0) = (0.05, 0.1, 0)
(0.1 + 0 + 0.05, , -0.1 +0.1 +0.1, , 0 -0.2 +0) = (0.15, 0.1, -0.2)
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
m1 r1 = (0.85, -0.9, -1.0) - (0.15, 0.1, -0.2) = (0.7, -1.0, -0.8)
Agora, calculando r1 = (0.7, -1.0, -0.8)0.1 = (7.0, -10.0, -8.0) , m :
Como , encontramos :

Passo 12

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 1 em VCM = 1M ( m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 + m4 v4 ) segundos:
A velocidade do CM continua sendo m1 v1 = M VCM - (m2 v2 + m3 v3 + m4 v4) .
Usando a conservação da quantidade de movimento:
m1 v1 = 0.3 times (0.5, -0.6667, -0.5) - [0.1 times (3, -5, 6) + 0.05 times (-1, 0, -3) + 0.05 times (-2, 3, 4)]
Queremos 0.3 times (0.5, -0.6667, -0.5) = (0.15, -0.2, -0.15) , então:
0.1 times (3, -5, 6) = (0.3, -0.5, 0.6)
Substituindo os valores:
0.05 times (-1, 0, -3) = (-0.05, 0, -0.15)
Calculando cada parte:
0.05 times (-2, 3, 4) = (-0.1, 0.15, 0.2)
(0.3 -0.05 -0.1, , -0.5 +0 +0.15, , 0.6 -0.15 +0.2) = (0.15, -0.35, 0.65)
m1 v1 = (0.15, -0.2, -0.15) - (0.15, -0.35, 0.65) = (0, 0.15, -0.8)
v1 = (0, 0.15, -0.8)0.1 = (0, 1.5, -8.0) , m/s
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
Agora, calculando :
Como , encontramos :

Resposta

a) A posição do CM no instante inicial é .
b) A posição do CM em segundos, sem forças atuando, é .
c) No instante segundos:
  • A posição da partícula 1 é .
  • A velocidade da partícula 1 é .

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