Um sistema de partículas é composto por 4 partículas pontuais, de massas
e
. Em um instante inicial, verifica-se que as posições (medidas em metros) das
partículas são
e
, sendo suas velocidades (medidas em metros por segundo) nesse instante iguais a
e
. Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver as questões abaixo:
a) Determine a posição do CM do sistema no instante inicial.
b) Supondo a ausência de forças, encontre a posição do
.
c) Se as posições das partículas 2,3 e 4 no instante
são
e
, e suas velocidades são
e
, respectivamente, encontre a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.
partículas são
a) Determine a posição do CM do sistema no instante inicial.
b) Supondo a ausência de forças, encontre a posição do
c) Se as posições das partículas 2,3 e 4 no instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Centro de Massa (CM) de um sistema de partículas. A matéria que vamos usar aqui é a de mecânica clássica, mais especificamente a parte que fala sobre o centro de massa. Para isso, vamos precisar saber as massas das partículas, suas posições e velocidades. Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito:
a) Encontrar a posição do CM no instante inicial.
b) Descobrir onde está o CM depois de 3 segundos, sem forças agindo.
c) Com algumas posições e velocidades dadas no tempo segundos, descobrir a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.
b) Descobrir onde está o CM depois de 3 segundos, sem forças agindo.
c) Com algumas posições e velocidades dadas no tempo
Passo 2
Vamos começar pela parte a): Determinar a posição do CM do sistema no instante inicial.
Primeiro, o que é o Centro de Massa? O CM é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas do sistema, levando em conta suas massas. A fórmula para calcular a posição do CM (
) é:
onde
é a massa total do sistema,
são as massas das partículas e
são as posições das partículas.
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Calculando a Massa Total (
):
Temos 4 partículas:
- Partículas 1 e 2:
- Partículas 3 e 4:
Calculando
:
Passo 4
Calculando a Soma das Massas vezes as Posições:
As posições iniciais são:
Multiplicando cada posição pela sua massa:
Agora, somamos todas essas contribuições:
Passo 5
Calculando a Posição do CM:
Agora, usamos a fórmula do CM:
Passo 6
Agora passamos para a parte b): Supondo a ausência de forças, encontrar a posição do CM em
segundos.
Quando não há forças agindo no sistema, o Centro de Massa se move com velocidade constante, de acordo com a primeira lei de Newton (inércia). Isso significa que a posição do CM no tempo
pode ser calculada usando:
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do CM (
).
Passo 7
Calculando a Velocidade do CM (
):
A velocidade do CM é a média ponderada das velocidades das partículas:
As velocidades iniciais são:
Multiplicando cada velocidade pela sua massa:
Somando todas essas contribuições:
Agora, calculamos
:
Passo 8
Calculando a Posição do CM em
segundos:
Usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, vamos para a parte c): Encontrar a posição e velocidade da partícula 1 no instante
segundos.
Aqui, são dadas as posições e velocidades das partículas 2, 3 e 4 nesse instante. Precisamos usar a conservação do centro de massa para descobrir as informações da partícula 1.
Passo 10
Primeiro, vamos calcular a posição do CM em
segundos:
Novamente, como não há forças agindo, o CM continua se movendo com velocidade constante:
Usando os valores que já calculamos:
Passo 11
Agora, vamos usar a posição do CM para encontrar a posição da partícula 1:
Sabemos que:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
Agora, calculando
:
Como
, encontramos
:
Passo 12
Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 1 em
segundos:
A velocidade do CM continua sendo
.
Usando a conservação da quantidade de movimento:
Queremos
, então:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
Agora, calculando
:
Como
, encontramos
:
Resposta
a) A posição do CM no instante inicial é
.
b) A posição do CM em
segundos, sem forças atuando, é
.
c) No instante
segundos:
- A posição da partícula 1 é
. - A velocidade da partícula 1 é
.
Exercícios relacionados
Em uma colisão elástica entre duas partículas de massas
e
as velocidades iniciais são
e
, sendo
. Considere que as energias cinéticas iniciais das duas partículas sejam iguais. Dessa forma, determine as condições para as razões
e
para que a massa
permaneça em repouso após a colisão. Resolva este problema para ambos os casos de
e
. Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver cada passagem.
O elétron externo de um átomo de potássio se encontra em um estado com I = 2. Calcule o módulo de L. Quais são os valores possíveis de je os valores possíveis do módulo de J? Quais são os valores possíveis de
os valores possíveis do módulo de
?
Calcule a integral.