Um sistema de partículas é composto por 4 partículas pontuais, de massas e . Em um instante inicial, verifica-se que as posições (medidas em metros) das
partículas são e , sendo suas velocidades (medidas em metros por segundo) nesse instante iguais a e . Explicite todos os cálculos e ideias utilizados para resolver as questões abaixo:
a) Determine a posição do CM do sistema no instante inicial.
b) Supondo a ausência de forças, encontre a posição do .
c) Se as posições das partículas 2,3 e 4 no instante são e , e suas velocidades são e , respectivamente, encontre a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Centro de Massa (CM) de um sistema de partículas. A matéria que vamos usar aqui é a de mecânica clássica, mais especificamente a parte que fala sobre o centro de massa. Para isso, vamos precisar saber as massas das partículas, suas posições e velocidades. Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito:
a) Encontrar a posição do CM no instante inicial.
b) Descobrir onde está o CM depois de 3 segundos, sem forças agindo.
c) Com algumas posições e velocidades dadas no tempo segundos, descobrir a posição e velocidade da partícula 1 nesse instante.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Determinar a posição do CM do sistema no instante inicial.
Primeiro, o que é o Centro de Massa? O CM é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas do sistema, levando em conta suas massas. A fórmula para calcular a posição do CM ( ) é:
onde é a massa total do sistema, são as massas das partículas e são as posições das partículas.
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Calculando a Massa Total ( ):
Temos 4 partículas:
  • Partículas 1 e 2:
  • Partículas 3 e 4:
Calculando :

Passo 4

Calculando a Soma das Massas vezes as Posições:
As posições iniciais são:
Multiplicando cada posição pela sua massa:
Agora, somamos todas essas contribuições:

Passo 5

Calculando a Posição do CM:
Agora, usamos a fórmula do CM:

Passo 6

Agora passamos para a parte b): Supondo a ausência de forças, encontrar a posição do CM em segundos.
Quando não há forças agindo no sistema, o Centro de Massa se move com velocidade constante, de acordo com a primeira lei de Newton (inércia). Isso significa que a posição do CM no tempo pode ser calculada usando:
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do CM ( ).

Passo 7

Calculando a Velocidade do CM ( ):
A velocidade do CM é a média ponderada das velocidades das partículas:
As velocidades iniciais são:
Multiplicando cada velocidade pela sua massa:
Somando todas essas contribuições:
Agora, calculamos :

Passo 8

Calculando a Posição do CM em segundos:
Usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, vamos para a parte c): Encontrar a posição e velocidade da partícula 1 no instante segundos.
Aqui, são dadas as posições e velocidades das partículas 2, 3 e 4 nesse instante. Precisamos usar a conservação do centro de massa para descobrir as informações da partícula 1.

Passo 10

Primeiro, vamos calcular a posição do CM em segundos:
Novamente, como não há forças agindo, o CM continua se movendo com velocidade constante:
Usando os valores que já calculamos:

Passo 11

Agora, vamos usar a posição do CM para encontrar a posição da partícula 1:
Sabemos que:
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
Agora, calculando :
Como , encontramos :

Passo 12

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 1 em segundos:
A velocidade do CM continua sendo .
Usando a conservação da quantidade de movimento:
Queremos , então:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando as contribuições das partículas 2, 3 e 4:
Agora, calculando :
Como , encontramos :

Resposta

a) A posição do CM no instante inicial é .
b) A posição do CM em segundos, sem forças atuando, é .
c) No instante segundos:
  • A posição da partícula 1 é .
  • A velocidade da partícula 1 é .

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