Determine uma parametrização da curva interseção do cilindro com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercícinho juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização da curva que é a interseção entre o cilindro e o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essas equações representam. O cilindro é o conjunto de todos os pontos no espaço onde . Isso forma um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo .
Já o plano é definido por . Esse é um plano inclinado que corta o eixo .
Passo 3
Para encontrar a curva de interseção, precisamos resolver as duas equações juntas. Vamos expressar uma das variáveis do plano em termos da outra para substituir na equação do cilindro. Vamos isolar na equação do plano:
Passo 4
Agora que temos , vamos substituir isso na equação do cilindro:
Mas, como não temos na equação do cilindro, vamos ver como parametrizar e usando um parâmetro . Uma boa escolha é usar o ângulo para representar as coordenadas e no círculo do cilindro.
Passo 5
Vamos definir e em função de :
Aqui, é o parâmetro que varia de a , percorrendo todo o círculo.
Passo 6
Agora, usando a relação que encontramos para :
Resposta
Então, uma parametrização da curva de interseção é: