Determine uma parametrização da curva interseção do cilindro C=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=1 com o plano P=(x, y, z) in R^3: y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercícinho juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização da curva que é a interseção entre o cilindro e o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas equações representam. O cilindro é o conjunto de todos os pontos no espaço onde . Isso forma um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo .
Já o plano é definido por . Esse é um plano inclinado que corta o eixo .

Passo 3

Para encontrar a curva de interseção, precisamos resolver as duas equações juntas. Vamos expressar uma das variáveis do plano em termos da outra para substituir na equação do cilindro. Vamos isolar y + z = 2 Rightarrow z = 2 - y na equação do plano:

Passo 4

Agora que temos x^2 + y^2 = 1 , vamos substituir isso na equação do cilindro:
Mas, como não temos na equação do cilindro, vamos ver como parametrizar e usando um parâmetro . Uma boa escolha é usar o ângulo para representar as coordenadas e no círculo do cilindro.

Passo 5

Vamos definir x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) e em função de :
Aqui, é o parâmetro que varia de a , percorrendo todo o círculo.

Passo 6

Agora, usando a relação que encontramos para z = 2 - y = 2 - sin(t) :

Resposta

Então, uma parametrização da curva de interseção é:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = 2 - sin(t) para t in [0, 2pi)

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