Calcule integral t^2(x) cos ^3(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral indefinida que envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, precisaremos usar técnicas de substituição e princípios básicos de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar interpretando integral tan^2(x) cos^3(x) , dx . Geralmente, representa a função tangente, ou seja, . Assim, . Portanto, a integral que precisamos resolver é:

Passo 3

Sabemos que integral sin^2(x)cos^2(x) cdot cos^3(x) , dx . Então, . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão multiplicando as potências de sin^2(x)cos^2(x) cdot cos^3(x) = sin^2(x) cdot cos^(3-2)(x) = sin^2(x) cos(x) :
integral sin^2(x) cos(x) , dx
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 6

Substituindo integral sin^2(x) cos(x) , dx = integral u^2 , du na integral, temos:

Passo 7

Agora, integramos integral u^2 , du = u^33 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos u^33 + C = sin^3(x)3 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de sin^3(x)3 + C é:

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